コンパクト性(コンパクト性は連続写像の像に遺伝する)

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定義 ( 開被覆 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

(Oλλ∈J を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。



このとき、(Oλλ∈J を 『 A の被覆 』 という。

とくに、(Oλλ∈J が開集合族であるとき、これを 『 A の開被覆 』 という。

有限個の開集合によって構成される開被覆を 『 有限開被覆 』 という。

定義 ( コンパクト )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

(Oλλ∈J を A の 『 任意 』 の開被覆とする。

そこから有限個の Oλ1、・・・、Oλn を選んで次が成り立つようにできるとする。



このとき、「 A はコンパクトである 」 という。

定義 ( コンパクト空間 )

(X、)を位相空間とする。

X 自身がコンパクトであるとする。

このとき、(X、)を 『 コンパクト空間 』 という。

または、単に 「 X はコンパクトである 」 という。

A29 ( 部分空間のコンパクト性に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A はコンパクトである。

(2) 任意の閉集合族(Fλλ∈J に対し、次が成り立つ。



(3) A は X の部分空間としてコンパクト空間である。

(1)⇔(2)の証明

以下、全て同値である。



各(Fλ は開集合であるから、(*4)は A がコンパクトであることを意味する。

(1)⇔(3)の証明

(Oλλ∈J を A の開被覆とする。

いま、



これは次のことと同値である。



いま、A∩Oλは部分空間 A の開集合である。(※A24)

また、次は同値である。

(*1)において、有限個の(Xの開集合)Oλを選んで A を被覆できる。

(*2)において、有限個の(Aの開集合)A∩Oλを選んで A を被覆できる。

つまり、(1)⇔(3)である。

定義 ( 有限交叉性 )

X を集合とする。

(Aλλ∈J を X の部分集合族とする。

任意の有限集合 K⊂J に対し、次が成り立つとする。



このとき、「(Aλλ∈J は有限交叉性をもつ 」 という。

A30 ( コンパクト性に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) X はコンパクトである。

(2) X の閉集合族(Fλλ∈J が有限交叉性をもつならば、次が成り立つ。

証明

明らかである。( あるいは、A29 において A=X として考えてもよい )

A31

(X、)を位相空間とする。

、・・・、A を X の部分集合とする。

各 A 、・・・、A がコンパクトであるとする。

このとき、A∪・・・∪A もコンパクトである。

証明

明らかである。(※定義:コンパクト)

補足

一方、A∩・・・∩A がコンパクトであるとは限らない。

おそらく、この辺りは誤解されやすい。

A32 ( コンパクト性は連続写像の像に遺伝する )

X、Y を位相空間とする。

f:X→Y を連続写像とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、A がコンパクトならば、f(A)もコンパクトである。

証明

(Oλλ∈J を f(A)の開被覆とする。

いま、



また、f−1(Oλ)は X の開集合である。(※A20)

よって、(f−1(Oλ))λ∈J は A の開被覆である。

いま、A はコンパクトである。

よって、有限個の開集合 f−1(Oλ1)、・・・、f−1(Oλn)を選んで、次が成り立つようにできる。



よって、



よって、f(A)はコンパクトである。

参考

「 コンパクト性がいまいち分からない 」 と疑問に感じる人がいるかもしれない。

1つの見方として、

「 コンパクト空間は、無限に大きな空間と位相同型にならない空間である 」

・・・と言えるかもしれない。

例えば、開区間(−π/2、π/2)を考えよう。

f:(−π/2、π/2)→ を f(x)=tanx で定義する。

明らかに、f は位相同型写像である。

つまり、(−π/2、π/2) と は位相同型である。

f は無限に伸びるゴムのようなものと考えられる。

一方、閉区間 [−π/2、π/2] と は位相同型にはならない。(※証明は省略)

この例は不思議に思える。

[−π/2、π/2] の方が (−π/2、π/2) よりも大きい。

しかし、[−π/2、π/2] は無限には伸びない。

たしかに、[−π/2、π/2] は、この意味でコンパクトである。