同相写像、開写像、閉写像

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定義 ( 同相写像 )

X、Y を位相空間とする。

f:X→Y を全単射とする。( つまり、逆写像 f−1:Y→X が存在する )

さらに、f と f−1 がともに連続であるとする。

このとき、f を 『 X から Y への同相写像 』 という。

X から Y への同相写像が存在するとき、「 X と Y は同相である 」 という。

定義 ( 開写像、閉写像 )

X、Y を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

X の任意の開集合に対し、f による像が Y の開集合になるとき、f を 『 開写像 』 という。

X の任意の閉集合に対し、f による像が Y の閉集合になるとき、f を 『 閉写像 』 という。

つまり、開写像は開集合を保存し、閉写像は閉集合を保存する。

明らかに、同相という関係は、位相空間全体の集まりについて同値関係である。

つまり、同相によって位相空間を分類できる。

同相な位相空間は同じ位相構造をもっていると考えることができる。

A22 ( 同相写像に対する同値条件 )

(X、)、(Y、)を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は同相写像である。

(2) f は全単射、連続かつ開写像である。

(3) f は全単射、連続かつ閉写像である。

(1)⇒(2)の証明

O∈ とおく。

いま、f−1 は連続写像であるから、f(O)=(f−1−1(O)∈ である。(※A20)

よって、f は開写像である。

(2)⇒(3)の証明

F を X の閉集合とする。

いま、f は開写像であるから、Y−f(F)=f(X−F)∈ である。

よって、f(F)は閉集合である。

よって、f は閉写像である。

(3)⇒(1)の証明

O∈ とおく。

いま、f は閉写像であるから、f(X−O)=Y−f(O)は閉集合である。

よって、(f−1−1(O)=f(O)は開集合である。

よって、f−1 は連続である。(※A20)

A23 ( 閉写像、開写像に対する同値条件 )

(X、)、(Y、)を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は開写像である。

(2) 任意の A∈2 に対し、f(A)⊂f(A) である。

また、次は同値である。

(3) f は閉写像である。

(4) 任意の A∈2 に対し、f(A)⊂f()である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

A∈2 とおく。

明らかに、A⊂A である。

よって、f(A)⊂f(A)である。

仮定より、f(A)は開集合である。

よって、f(A)⊂(f(A)) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

O∈ とおく。

いま、f(O)=f(O)⊂(f(O)) である。

一方、明らかに、(f(O))⊂f(O)である。

以上により、f(O)=(f(O)) である。

よって、f(O)∈ である。

(3)⇔(4)の証明

上の証明と同様。

参考

既に述べたように、同相写像は開集合を保存する。

つまり、同相写像は位相構造を保存する。

一方、線形代数では 『 同型写像 』 というものが登場する。

線形代数でよく知られているように、同型写像は(線形)部分空間を保存する。

つまり、同型写像は線形構造を保存する。