同値類、商集合

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定義 ( 直和分割 )

X を集合とする。

を X の部分集合系とする。

次が成り立つとする。



このとき、 を 『 X の直和分割 』 という。

定義 ( 2項関係 )

A を集合とする。

R を直積 A×A の部分集合とする。

(x,y)∈R であるとき、x〜y と表す。

〜 を 『 A における2項関係 』 という。

R を 『 A における2項関係 』 と呼ぶこともある。

例えば、次のような集合 R を考えてみよう。



いま、(x、y)∈R と x<y は同じ意味をもつ。

つまり、『 < 』 は2項関係である。

『 ある集合 A に2項関係を指定すること 』 と 『 A×A の部分集合を指定すること 』 は同じである。

むろん、2項関係を意味する R と、実数全体を意味する は区別する。

2項関係を意味する R は英語の Relation に由来する。

定義 ( 同値関係 )

X を集合とする。

〜 を X の2項関係とする。

任意の x、y、z∈X について、次が成り立つする。



(1)を反射律、(2)を対称律、(3)を推移律という。

このとき、関係 〜 を 『 X における同値関係 』 という。

ここで、

「 条件(1)は、(2)と(3)から導けるから、(1)は不要なのでは?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、x〜y とすると、条件(2)より、y〜x である。

そして、条件(3)より、x〜x となるように思える。

しかし、そもそも、y をとることができるという保証がない。

だから、条件(1)は必要なのである。

参考

同値関係は数学の中で最も重要な概念の1つである。

数学の目的は、数学的対象を分類することであるともいえる。

その分類の基準となるのが同値関係である。

定義 ( 同値類 )

X を集合とする。

〜 を X の同値関係とする。

次のように定義する。



このとき、[a] を 『 a の同値類 』 という。

また、a を 『 [a]の代表元 』 という。

D1 ( 同値関係は集合を直和分割する )

X を集合とする。

〜 を X の同値関係とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の a∈X に対し、a∈[a] である。

(2) a と b は同値である ⇒ [a]=[b]

(3) a と b は同値でない ⇒ [a]∩[b]=φ

補足

つまり、同値関係 〜 は集合 X を直和分割する。

実際、(1)より、任意の x∈X は何らかの同値類に属している。

また、(2)より、各同値類は交わらない。

(1) の証明

反射律より、a〜a であるから、a∈[a] である。

(2) の証明

a と b は同値であるとする。

x∈[a] とおく。

いま、x〜a である。

推移律より、x〜a、a〜b ⇒ x〜b である。

よって、x∈[b] である。

以上により、[a]⊂[b] である。

同様にして、[b]⊂[a] である。

よって、[a]=[b] である。

(3) の証明

a と b は同値でないとする。

[a]∩[b]≠φと仮定する。(背理法)

いま、ある x∈[a]∩[b] が存在して、x〜a、x〜b となるようにできる。

よって、a〜b である。

これは矛盾である。

よって、[a]∩[b]=φである。

参考 ( 整数の合同関係 )

n を正の整数とする。

a、b∈ に対し、a−b が n で割り切れるとき、a≡b ( mod n ) と表す。

このような関係を 「 a と b は n を法として合同である 」 という。

これは同値関係である。

これは最も有名な同値関係であろう。

例えば、n=3 とすると、 は次のように分割される。

[0]={ −3、0、3、6、・・・ }

[1]={ −2、1、4、7、・・・ }

[2]={ −1、2、5、8、・・・ }

いま、=[0]∪[1]∪[2] である。

また、m≠n ならば [m]∩[n]=φである。

このように、すべての元を、重複なく分割する。

D2 ( 写像によって定められる同値関係 )

f:X→Y を写像とする。

x、x’∈X に対して、f(x)=f(x’)が成り立つような関係を 〜 とする。

このとき、〜 は同値関係である。

このような関係 〜 を 『 f によって定められる同値関係 』 という。

証明

明らかである。

補足

これは一見するとつまらなく思えるかもしれないが、重要な同値関係の1つである。

参考 ( 写像が集合を直和分割することの具体例 )

D2によれば、写像は同値関係を定める。

よって、この意味で、写像は集合を直和分割できる。(※D1)

このことを具体的に確認してみよう。

X を集合とする。

f:X→{1、2、3}を全射とする。

このとき、X は f−1({1})、 f−1({2})、 f−1({3})に分類される。

しかも、f−1({1})、 f−1({2})、 f−1({3})の元は重複しない。(※定義:写像)

定義 ( 商集合 )

X を集合とする。

〜 を X における同値関係とする。

このとき、X は 〜 の同値類によって直和分割される。(※D1)

X の 〜 による同値類全体を X/〜 と表す。

つまり、



これを 『 〜による X の商集合 』 という。

参考

f:X→{1、2、3}を全射とする。

〜 を f によって定められる同値関係とする。

このとき、X/〜={ f−1({1})、f−1({2})、f−1({3})}である。

定義 ( 商写像 )

X を集合とする。

〜 を X における同値関係とする。

次のように定義する。



このψを 『 X から X/〜 への商写像 』 という。

むろん、ψ(X)=X/〜 である。つまり、ψは全射である。

D3

X を集合とする。

〜 を X における同値関係とする。

ψ:X→X/〜 を商写像とする。

このとき、〜 はψによって定められる同値関係である。

証明

明らかに、x、x’∈X に対し、x〜x’⇔ψ(x)=ψ(x’)である。

よって、〜 はψによって定められる同値関係である。(※D2)

D4 ( 写像の分解 )

f:X→Y を写像とする。

〜 を f によって定められる同値関係とする。

ψ:X→X/〜 を商写像とする。

ψ(x)=ψ(x’)とすると、x〜x’であり、f(x)=f(x’)である。(※D3)(★1)

つまり、任意のψ(x)∈X/〜 に対して f(x)∈Y が一意に定まる。(★2)

よって、次のような写像 F’を定義できる。



明らかに、F’は単射である。

F を、F’の終域を Y から f(X)に変更した写像とする。

つまり、F:X/〜→f(X) である。

明らかに、F は全単射である。

ここで、h:f(X)→Y を包含写像とする。

いま、h*F*ψは X から Y への写像である。

しかも、任意の x∈X に対し、(h*F*ψ)(x)=h(F(ψ(x)))=F(ψ(x))=f(x)である。

よって、f=h*F*ψである。

このように、任意の写像 f は3つの写像に分解される。

これを 『 f の分解 』 という。

とくに、F を 『 f によって引き起こされる全単射 』 という。

(★1)と(★2)について補足

これは well-defined と呼ばれる考え方である。

この部分は少し分かりにくいかもしれないが、初心者はそれほど気にしなくてよい。

詳しく知りたい人は代数学の 『 well-defined 』 のページを参照。

証明は定理の中で述べたので必要ない。

写像の様子を図にまとめると、

D5

f:X→Y を全射とする。

〜 を f によって定められる同値関係とする。

このとき、Y と X/〜 の間に全単射が存在する。

証明

明らかである。(※D4)

参考

同値関係は数学のすべての分野に登場すると言ってよいであろう。

商集合や商写像は、代数学などで重要である。

代数学において、まず最初に最も重要な定理は 『 群の準同型定理 』 である。

そして、群の準同型定理を述べるためには 『 剰余群 』 という概念が必要である。

実は、この剰余群が商集合なのである。

また、準同型写像が商写像である。