集合の相等に関する重要問題

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参考 ( 重要問題 )

各自然数 n に対し、集合 A、B を次のようにおく。



このとき、次が成り立つことを証明せよ。

補足

以下の証明では和集合を ∪n≧1 と表し、共通部分を ∩n≧1 と表す。

この表記を用いると、例えば、(1)は ∪n≧1=[0、2)と表せる。

これらの表記もよく用いられる。

(1)の解答

x∈∪n≧1 とおく。

いま、ある n∈ が存在して、x∈A となる。

つまり、x∈[0、2−1/n] である。

よって、x∈[0、2)である。

以上により、x∈∪n≧1⇒x∈[0、2)である。

よって、∪n≧1⊂[0、2)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈[0、2)とおく。

いま、ある n∈ が存在して、x∈[0、2−1/n]となる。

つまり、x∈A である。

よって、x∈∪n≧1 である。

以上により、x∈[0、2)⇒x∈∪n≧1 である。

よって、[0、2)⊂∪n≧1 である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、∪n≧1=[0、2)である。

(2)の解答

x∈∩n≧1 とおく。

いま、任意の n∈ に対し、x∈(−1/n、1+1/n)である。

よって、x∈[0、1]である。

以上により、x∈∩n≧1⇒x∈[0、1]である。

よって、∩n≧1⊂[0、1]である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈[0、1]とおく。

n∈ とおく。

いま、x∈(−1/n、1+1/n)である。

よって、x∈B である。

つまり、任意の n∈ に対し、x∈B である。

よって、x∈∩n≧1 である。

以上により、x∈[0、1]⇒x∈∩n≧1 である。

よって、[0、1]⊂∩n≧1 である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、∩n≧1=[0、1]である。

参考 ( 全称量化子の固定 )

ある集合 A、B について A=B を証明したいとする。

上の演習問題の証明もそうだが、これは次のように証明される。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、x∈A とおく。

このとき、何らかのプロセスを経て、x∈Bが証明される。

つまり、「 x∈A ⇒ x∈B 」 が証明されたことになる。

よって、A⊂B である。(★1)

逆に、x∈B とおく。

このとき、何らかのプロセスを経て、x∈Aが証明される。

つまり、「 x∈B ⇒ x∈A 」 が証明されたことになる。

よって、B⊂A である。(★2)

(★1)、(★2)より、A=B である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

このとき、「 x∈A とおく 」 という表現に違和感を感じる人がいるかもしれない。

これは次のように言い換えても意味は同じである。

「 A に属する任意の点をとる 」

「 A の任意の点 x を1つとって固定する 」

しかし、それだと長いので 「 x∈A とおく 」 と表現することも多い。

この x について P が成り立つことが示されたとしよう。

このとき、すべての x について P が成り立つと結論してよい。

このような論法を 『 全称量化子の固定 』 と呼ぶことにしよう。

全称量化子の固定は、教科書で暗黙のうちに使用されることが多い。

ところで、もしかしたら、次のように考える人がいるかもしれない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上の論法はおかしい。

例えば、人間という集合の中から不特定に1人を選んだとする。

このとき、選ばれたのがたまたま日本人で、その人の目の色が黒かったとする。

では、全ての人間の目は黒なのか?

ところが、目が青い人もいるじゃないか!

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

しかし、「 その人の目が黒だったとする」 と言っている時点で不特定に選んだとは言えない。

不特定に選んだ1人の人間を x としよう。

人間 x の目が黒であるという保証はないであろう。

では、人間 x について成り立つこととは何だろう?

例えば、「 x はDNAをもっている 」 といってよいだろう。

よって、全人間がDNAをもっていると結論してよい。

実際、全人間がDNAをもっているという主張は直観的にも正しいと分かる。

こうして見ると当たり前の話だが、議論が複雑になったときには非常に効果的である。