写像(合成写像)

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定義 ( 拡張、制限 )

X を集合とする。

A を X の部分集合とする。

f:X→Y、g:A→Y を写像とする。

任意の x∈A に対し、f(x)=g(x)であるとする。

このとき、f を 『 g の拡張(または拡大)』 という。

また、g を 『 f の A への制限(または縮小)』 といい、次のように表す。

定義 ( 恒等写像 )

次のように定める。



このとき、I を 『 恒等写像 』 という。

明らかに、恒等写像は全単射である。

結局、恒等写像は何も変化させていないことになるが、意外にも各場面で重要な役割を演じる。

定義 ( 合成写像 )

f:X→Y と g:Y→Z を写像とする。

いま、任意の x∈X に対して、f(x)∈Y が定まる。

また、f(x)∈Y に対して、g(f(x))∈Z が定まる。

つまり、任意の x∈X に対して、g(f(x))∈Z が定まる。

そこで、次のように定義する。



g*f を 『 f と g の合成写像 』 という。

よくある間違いだが、『 g*f 』 は 「 g で写してから f で写す 」 という意味ではない。

上の定義から分かるように、正しくは、「 f で写してから g で写す 」 という意味である。

B1

f:X→Y を全単射とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (f−1−1=f

(2) f−1*f=I、f*f−1=I

証明

明らかである。

参考 ( 可逆写像 )

f:X→Y を写像とする。

ある写像 g:Y→X が存在して、次を満たすとする。

(*1) g*f=I

(*2) f*g=I

このとき、f を 『 可逆写像 』 という。

明らかに、全単射は可逆写像である。(※B1)

逆に、可逆写像は全単射である。

このことは次の定理で示される。

参考

f:X→Y を可逆写像とする。

g:Y→X を定義(可逆写像)の意味でとる。

このとき、f は全単射であり、g は f の逆写像である。

補足

つまり、可逆写像と全単射は同値である。

証明

f(x)=f(x’)とする。

いま、g(f(x))=g(f(x’))である。

よって、I(x)=I(x’)である。

よって、x=x’である。

以上により、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y∈Y とおく。

いま、f(g(y))=f*g(y)=I(y)=y である。(★)

つまり、任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、f(x)=y となる。

つまり、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よって、f は全単射である。

(★)の両辺を f−1 で写すと、g(y)=f−1(y)である。

B2

f:X→Y と g:Y→X を全単射とする。

g*f=I であるとする。

このとき、g= f−1 であり、f=g−1 である。

証明

同様のことは f*g= I の場合についても成り立つ。

証明

g*f(x)=x であるから、g(f(x))=x である。

つまり、g は f(x)に x を対応させる写像である。

これは g=f−1 を意味する。(※定義:逆写像)

また、g−1= (f−1−1=f である。(※B1)

B3

f:A→B、g:B→C を写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f、g が全射ならば、g*f は全射である。

(2) f、g が単射ならば、g*f は単射である。

(3) g*f が全射ならば、g は全射である。

(4) g*f が単射ならば、f は単射である。

(5) g*f が全射かつ g が単射ならば、f は全射である。

(6) g*f が単射かつ f が全射ならば、g は単射である。

(1)の証明

目的は g*f の全射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



この場合、一番外側の全称量化子を固定すればよい。

よって、最初の一手は c∈C とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c∈C とおく。

g:B→C は全射であるから、



いま、b∈B である。

f:A→B は全射であるから、



以上により、g(f(a))=g(b)=c である。

一方、g*f(a)=g(f(a))である。(※定義:合成写像)

よって、g*f(a)=c である。

以上により、



よって、g*f は全射でる。

(2)の証明

目的は g*f の単射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



よって、最初の一手は g*f(a)=g*f(a’)とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g*f(a)=g*f(a’)とおく。

定義(合成写像)より、



g は単射であるから、



f は単射であるから、



以上により、



よって、g*f は単射である。

(3)の証明

目的は g の全射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



この場合、一番外側の全称量化子を固定すればよい。

よって、最初の一手は c∈C とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c∈C とおく。

g*f:A→C は全射なので、



定義(合成写像)より、



そこで、f(a)=b とおくと、g(b)=c である。

以上により、



よって、g は全射である。

(4)の証明

目的は f の単射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



よって、最初の一手は f(a)=f(a’)とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(a)=f(a’)とおく。

定義(合成写像)より、



g*f は単射なので、



以上により、



よって、f は単射である。

(5)の証明

目的は f の全射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



この場合、一番外側の全称量化子を固定すればよい。

よって、最初の一手は b∈B とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

b∈Bとおく。

いま、g(b)∈C である。

g*f:A→C は全射であるから、



定義(合成写像)より、



g は単射であるから、



以上により、



よって、f は全射である。

(6)の証明

目的は g の単射性を示すことである。

つまり、次を示せばよい。



よって、最初の一手は g(b)=g(b’)とおくことである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g(b)=g(b’)とおく。

f は全射なので、



定義(合成写像)より、



g*f は単射なので、



よって、



以上により、



よって、g は単射である。

B4

f:X→Y を写像とする。

(1) f が単射であるときのみ、ある写像 g:Y→X が存在して、g*f=I となるようにできる。

(2) f が全射であるときのみ、ある写像 g:Y→X が存在して、f*g=I となるようにできる。

( ただし、(1) において X≠φとする )

補足

f の逆写像は、f が全単射の場合にしか考えることができない。(※定義:逆写像)

しかし、今回の定理から分かるように、f が単射であれば、実質的に逆写像と同じものを考えることができる。

(1)の証明

f:X→Y が単射であると仮定する。

h を、f:X→Y の終域を Y から f(X)に変更した写像とする。

つまり、h:X→f(X)である。

いま、h は全単射である。

よって、h は逆写像をもつ。

ここで、a∈X とおく。

( X≠φであるから、このようにおいてよい )

次のように定める。



いま、任意の x∈X に対し、g*f(x)=x となる。

つまり、g*f=I である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、g*f=I とする。

は恒等写像であるから全単射である。

よって、g*f は単射である。

よって、f は単射である。(※B3)

よって、g*f=I となるのは、f が単射であるときのみである。

(2)の証明

実は、現時点では(2)を証明できない。

この証明には 『 選択公理 』 が必要である。

これについては後で扱うので、いまは保留にしておこう。