ハウスドルフ空間

サイトのTOP→理系インデックス
位相空間論のTOP→位相空間論インデックス





定義 ( 分離公理 )

(X、)を位相空間とする。

を閉集合全体とする。

次の条件を考える。



(1)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(2)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(3)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(4)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

定義

空間を 『 ハウスドルフ空間 』 ということも多い。

空間と T空間が同時に成り立つとき、これを 『 正規空間 』 という。

空間と T空間が同時に成り立つとき、これを 『 正則空間 』 という。

参考

ハウスドルフ空間は多様体論などで用いることがある。

まずはハウスドルフ空間に注目するとよいだろう。

A26 ( T と T に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

X が T空間であることは、次が成り立つことと同値である。



X が T空間であることは、次が成り立つことと同値である。

証明

明らかである。(※A1)

A27 ( T空間に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) X は T空間である。

(2) 任意の x∈X について、{x}は閉集合である。

証明

(1)を仮定する。

x∈X とおく。

y∈{x} とおく。

x≠y とする。(背理法)

いま、



よって、{x}∩O=φである。

これは矛盾である。(※A11)

よって、{x}={x} である。

よって、{x} は閉集合である。(※A9)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x≠y とする。

いま、{y}は閉集合である。

よって、O=X−{y}は開集合である。

しかも、x∈O であり、y は O に属さない。

(1)⇒(2)の別証明

x∈X とおく。

y∈X−{x}とおく。

いま、



よって、



よって、{x} は開集合である。(※開集合の公理)

よって、{x}は閉集合である。

A28

次が成り立つ。

正規空間 ⇒ 正則空間 ⇒ ハウスドルフ空間 ⇒ T空間

証明

明らかである。(※A27)