閉集合の公理、集積点、孤立点

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定義 ( 閉集合 )

(X、)を位相空間とする。

F を X の部分集合とする。

F の補集合 F が開集合であるとする。

このとき、F を 『 X の閉集合 』 という。

参考

φ と X は開集合かつ閉集合である。(※開集合の公理、定義:閉集合)

A7 ( 閉集合の公理 )

(X、)を位相空間とする。

を X の閉集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、開集合の公理から A7 が導かれる。

逆に、A7 を公理として採用すれば、同じ手順で開集合の公理を 『 定理 』 として導くことができる。

結局、どちらを公理として採用しても同じ結論が得られる。

証明

いま、φ∈ である。(※開集合の公理)

よって、φ である。

φ=X であるから、X∈ である。

いま、X∈ である。(※開集合の公理)

よって、X である。

=φ であるから、φ∈ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、・・・、F とおく。

いま、F、・・・、F は開集合である。

よって、開集合の公理より、



よって、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ とおく。

いま、任意のλ∈J に対して Fλ は開集合である。

よって、開集合の公理より、



よって、



よって、

定義 ( 閉包 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

A を含む閉集合全体の共通部分を と表す。

を 『 A の閉包 』 という。

閉包に属する点を 『 A の触点 』 という。

A8 ( 閉包に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) E=

(2) E は、A を含む閉集合全体の共通部分である。

(3) E は、A を含む最小の閉集合である。

補足

とくに、(3)の内容を定式化すると、

(1)⇔(2)の証明

定義そのままである。

(2)⇔(3)の証明

明らかである。

A9

(X、)を位相空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)証明

明らかである。(※A8)

(2)証明

明らかである。(※定義:閉包)

A10 ( 閉包の性質 )

(X、)を位相空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(4)は 『 閉核作用子の公理 』 と呼ばれるものに関係する。

証明

A5と同様に証明できる。

A11 ( 触点に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

ある開集合 O ( ただしa∈O ) が存在して、O∩A=φとなるとする。(背理法)

いま、A⊂O である。

また、a は O に属さない。

また、O は閉集合であるから、⊂O である。(※A8またはA9)

よって、a は に属さない。

これは仮定(1)に矛盾する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

a は に属さないとする。(背理法)

いま、a∈( である。

は閉集合であるから、( は開集合である。

しかも、A∩(=φである。

これは仮定(2)に矛盾する。

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

U∈(a)とおく。

いま、ある開集合 O が存在して、a∈O⊂U となる。

仮定(2)より、O∩A≠φである。

よって、U∩A≠φである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

O∈ とおく。

a∈O であるとする。

いま、O∈(a)である。(※A1)

よって、仮定(3)より、O∩A≠φである。

A12

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかに、A⊂A である。

よって、A⊂(A である。

また、(A は閉集合である。

F を閉集合とし、A⊂F であるとする。

いま、F は開集合であり、F⊂A である。

よって、F⊂A である。(※A3)

よって、(A⊂F である。

以上により、(A は A を含む最小の閉集合である。(★)

よって、定理が示された。(※A8)

(★)について補足

この部分の結論が分からないという人がいるかもしれない。

証明中に書かれているように、F はA を含む閉集合を意味していることに注意しよう。

しかも、この F は不特定に選ばれたものである。

そのような F について (A⊂F が示された。

つまり、 (A は、A を含む任意の閉集合 F に含まれるということである。

しかも、証明中に書いたように、(A は A を含む閉集合である。

よって、(A は A を含む最小の閉集合である。

(2)の証明

(1)の式において、両辺の補集合をとると、



ここで、A を A に置き換えると、

定義 ( 境界点 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

−A と定義する。

このとき、A を 『 A の境界 』 という。

また、A に属する点を 『 A の境界点 』 という。

定義 ( 集積点 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

x∈A−{x} であるとする。

このとき、x を 『 A の集積点 』 という。

定義 ( 孤立点 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

A に属する点で、A の集積点でない点を 『 A の孤立点 』 という。

定義から分かるように、A の集積点は A に属するとは限らない。

一方、A の孤立点は必ず A に属する。

A13 ( 集積点、孤立点に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

(1) x が A の集積点であることは、次が成り立つことと同値である。



(2) x が A の孤立点であることは、次が成り立つことと同値である。

補足

今回の定理によって集積と孤立の意味が分かる。

まず、(1)に注目しよう。

これは{x}の傍に必ず A の点が存在することを意味する。

だから、集積点と呼ぶのである。

一方、(2)に注目しよう。

これは x の傍には A の点が存在しないことを意味する。

だから、孤立点と呼ぶのである。

(1)の証明

A11(1)、(3) より、

(2)の証明

定義(孤立点)に注意し、(1)を用いると、

参考

明らかに、集積点⇒触点である。

しかし、逆は成り立たない。

例えば、孤立点は触点だが、集積点ではない。