補足(直積)

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参考

直積で戸惑う人も多いようなので、少し図による説明を加えておく。

ここでの説明は大雑把で曖昧なものであるから、あくまで参考程度に参照してほしい。

参考

X を (Xλλ∈J の直積とする。

直積 X の元 x は任意のλ∈J に対して x(λ)∈Xλ となるような写像である。

x(λ)を xλ と表すことも多い。

J={1,2,3,・・・}として、ここまでの内容を図に示すと、



実際、x(1)∈X、x(2)∈X、・・・となっていることが分かるであろう。

上図は 『 1つの写像 x 』 を意味している。

矢印が複数描かれているけれども、これらが1セットで1つの写像である。

当然、このような x∈X は他にも無数に存在する。これを図示すると、



( 矢印は煩わしいので、ただの線にした )

さて、話を戻そう。再び、1つの写像 x∈X に注目する。



この x について、x(λ)∈Xλ を 『 x のλ座標 』 と呼ぶ。

さらに、x に x(λ) を対応させる写像を射影 pλ という。



名称通り、写像 x の影のような存在である x(λ) を pλ で射る形になっている。

今度は視点を変えて、1つの a∈X に注目してみよう。



このとき、a を座標としてもつ写像 x は1つとは限らず、ふつう複数存在する。



これは逆像 p−1({a}) を意味する。

つまり、p−1({a}) は a を座標としてもつような写像 x 全体である。

同じように、X の部分集合 A に対して、pλ−1(A) は次のように表される。



これを式で表すと、