位相空間論に必要な集合論の定理

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参考

このページでは位相空間論で必要となる集合論の定理をまとめておく。

詳しい証明は集合論のページに書いてあるので、証明は省略する。

S1

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

これは写像の意味を理解していれば明らかである。

S2

f:X→Y を写像とする。

、A を X の部分集合とする。

、B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

つまり、像や逆像は 「 集合の包含関係 」 を保存する。

S3

f:X→Y を写像とする。

A、A、A を X の部分集合とする。

B、B、B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

一見すると、(5)と(6)は複雑に視えるかもしれない。

しかし、意味を理解すれば明らかである。

(2)は等号関係ではないことに注意。

S4

次が成り立つ。

これは先の結果の一般化である。

S5

f:X→Y、g:Y→Z を写像とする。

A⊂X、B⊂Y、C⊂Z とする。

このとき、次が成り立つ。

つまり、(g*f)−1=f−1*g−1 である。