開集合の公理、位相、近傍系

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定義 ( 開集合の公理 )

X を空でない集合とする。

を X の部分集合系とする。

次が成り立つとする。



( ただし、(3)において、J は任意の集合を意味する )

このとき、 を 『 X の位相 』 という。

位相 が与えられた集合 X を 『 位相空間 』 といい、(X、)と表す。

また、 に属する集合を 『 X の開集合 』 という。

とくに、(2)、(3)を次のように表現することもある。

(*2)  は有限個の共通部分について閉じている。

(*3)  は和集合について閉じている。

もしかすると、

「 開集合の公理は、公理なのか?定義なのか?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

ここで、ある集合 X を考えるとしよう。

一般に集合を考えた場合、この集合 X が開集合の公理(1)〜(3)を満たすとは限らない。

なので、(1)〜(3)が成り立つという前提で議論を進めるという意味で、公理と呼ぶのである。

そして、(1)〜(3)のようなルールを開集合の公理と呼ぶ、と定義しているだけである。

分かりにくければ、J= の場合を考えてみるとよいかもしれない。

すると、(2)と(3)の違いが鮮明になるであろう。



とくに、(2)は有限個の開集合についてのみ成り立つ条件である。

しかし、(3)は無限個の開集合についても成り立つ条件である。

ただし、J は任意の集合であるから、(3)は有限個の開集合についても成り立つ。

参考 ( 巾集合 )

集合 X の部分集合全体を 『 X の冪集合 』 という。

「 冪 」 は 「 べき 」 と読む。

しかし、字が複雑なので、 これを 『 巾 』 と表すことも多い。

X の巾集合は次のいずれかの記号で表されることが多い。

(*) 2、Pow(X)、P(X)

例えば、X={a、b}の巾集合は {φ、{a}、{b}、X } である。

このように、元の個数が p である集合に対して、その巾集合の元は 2 個になる。

これが 2 という表記の由来である。

また、巾集合は英語で 「 Power set 」 である。

これが Pow(X) という表記の由来である。

参考

一般に、1つの集合 X に対して数種類の位相が考えられる。

を X の位相としよう。

が異なる集合ならば、位相空間(X、)、(X、)は異なるものと見なされる。

例えば、X={a、b}とすると、次の4種類の位相が考えられる。

={φ、X }

={φ、{a}、X }

={φ、{b}、X }

={φ、{a}、{b}、X }

とくに、 は巾集合であるから、2 と表せる。

X={ a、b、c }とする。

いま、A={φ、{a、b}、{b、c}、X }は位相ではない。

実際、{a、b}∈A、{b、c}∈A であるが、{a、b}∩{b、c}={b}は A に属さない。

X を空でない集合とする。

このとき、次の2つはいずれも X の位相である。

(*1) ={φ、X }

(*2) =2

とくに、(*1)を 『 密着位相 』 といい、(*2)を 『 離散位相 』 という。

初めて位相というものを知ったとき、戸惑う入門者は多い。

その理由の1つは、位相空間の具体的な形が書かれていないからかもしれない。

ただ、最初から位相の背景や役割まで全てを理解することは無理であろう。

まずは、言葉通りの意味を理解するだけで十分である。

定義 ( 近傍系 )

(X、)を位相空間とする。

x∈X とおく。

U を X の部分集合とする。

次が成り立つとする。



このとき、U を 『 x の近傍 』 という。

点 x の近傍全体を 『 x の近傍系 』 といい、(x)と表す。

点 x が属する開集合を 『 x の開近傍 』 という。

点 x の近傍かつ閉集合であるものを 『 x の閉近傍 』 という。

「 点 x の近傍かつ閉集合であるものを閉近傍という 」 について異論はないだろう。

一方、「 点 x が属する開集合を開近傍という 」 については疑問をもつかもしれない。

点 x の近傍かつ開集合であるものを開近傍と呼ぶならば納得できる。

しかし、上の定義では、単に 「 点 x が属する開集合を開近傍という 」 と書かれている。

近傍かどうかも分からないものを開近傍などと呼んでよいのだろうか?

しかし、問題はない。

なぜなら、点 x が属する開集合は、x の近傍だからである。

それは次の定理によって分かる。

A1

x が属する開集合は、x の近傍である。

証明

O を、x が属する開集合とする。

いま、明らかに、x∈O⊂O である。

よって、O は x の近傍である。

A2 ( 近傍系の公理 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

もしかしたら、読者は(4)を奇異に思うかもしれない。

あるいは、(1)は当たり前で無意味であると考えるかもしれない。

実は、(1)〜(4)は 『 近傍系の公理 』 と呼ばれるものと関係しているのである。

つまり、(1)〜(4)を1セットにして扱うことには意味がある。

ただし、ここでは気にしなくてよい。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

U∈(x)であるから、



仮定より、U⊂V であるから、x∈O⊂V である。

以上により、



よって、V∈(x)である。

(3)の証明

、U(x)であるから、U、U は x の近傍である。

よって、



いま、



また、O∩O は開集合である。(※開集合の公理)

よって、U∩U は点 x の近傍である。

(4)の証明

U∈(x)とおく。

いま、



ここで、y∈V とおく。

いま、y∈V⊂U である。

しかも、V は開集合である。

よって、U は点 y の近傍である。

定義 ( 内部 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

A に含まれる開集合全体の和集合を A と表す。

を 『 A の内部 』 という。

A の内部に属する点を 『 A の内点 』 という。

の添字 『 i 』 は英語の interior に由来する。

を A または IntA と表す本もある。

ただ、A は普及しているが、A と混同される可能性があると思われるのでこのサイトでは用いない。

定義 ( 外部 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

の内部を 『 A の外部 』 といい、A と表す。

つまり、A=(A である。

外部に属する点を 『 A の外点 』 という。

の添字 『 e 』 は英語の exterior に由来する。

を ExtA と表す本もある。

A3 ( 内部に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) E=A

(2) E は、A に含まれる開集合全体の和集合である。

(3) E は、A に含まれる最大の開集合である。

補足

とくに、(3)の内容を定式化すると、

(1)⇔(2)の証明

定義そのままである。

(2)⇔(3)の証明

明らかである。

A4

(X、)を位相空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※A3)

(2)の証明

明らかである。(※定義:内部)

参考

いま、ある定理の証明で A が開集合であることを証明したいとしよう。

そのためには、例えば、A=A を証明すればよい。

そうすれば、A∈ となることが分かる。(※A4)

A5 ( 開核作用子の公理 )

(X、)を位相空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(4)は 『 開核作用子の公理 』 と呼ばれるものと関係する。

(1)の証明

明らかに、X∈ である。(※開集合の公理)

よって、X =X である。(※A4)

(2)の証明

明らかである。(※A3)

(3)の証明

明らかに、A⊂A、B⊂B である。

よって、A∩B⊂A∩B である。

いま、A、B である。(※A3)

よって、A∩B である。(※開集合の公理)

一方、(A∩B) はA∩Bに含まれる最大の開集合である。(※A3)

以上により、A∩B⊂(A∩B) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A∩B⊂A より、(A∩B)⊂A である。(※A4)

A∩B⊂B より、(A∩B)⊂B である。(※A4)

よって、(A∩B)⊂A∩B である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、(A∩B)=A∩B である。

(4)の証明

明らかに、A である。(※A3)

よって、(A=A である。(※A4)

A6

次は同値である。

証明

明らかである。(※A3)

参考

近傍の定義は参考書や授業によって異なる場合がある。

つまり、次のような2種類の定義がある。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

定義1

点 x∈X に対し、ある開集合 O が存在して、x∈O⊂U となるとする。

このとき、U を 『 x の近傍 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

定義2

点 x∈X に対し、x∈U を満たす開集合 U を 『 x の近傍 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ただし、『 定義1の近傍が存在すること 』 と 『 定義2の近傍が存在すること 』 は同値である。

これを証明してみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

証明

定義1の意味での近傍 U が存在すると仮定する。

いま、ある開集合 O が存在して、x∈O⊂U となる。

この開集合 O は、定義2の意味での近傍である。

逆に、定義2の意味での近傍 U が存在すると仮定する。

いま、x∈U⊂U である。

つまり、U は定義1の意味での近傍である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

結局、どちらの定義を採用しても意味は同じである。

位相空間論の議論に慣れていないと 「 どっちなのかハッキリしてほしい 」 と思うかもしれない。

しかし、慣れてくると読み替えが簡単にできるので、どちらでもよくなる。

専門的にしっかりした本は定義1を採用していることが多い。

このサイトでも定義1を採用している。

詳細な議論になると、定義1が必要になることがある。

参考

位相空間論では次のような公理がある。

(1) 開集合の公理

(2) 閉集合の公理

(3) 開核作用子の公理

(4) 閉核作用子の公理

(5) 近傍系の公理

どの公理を採用しても、本質的に同じ議論ができる。

昔は、他の公理を採用して書かれた本も多くあったようである。

しかし、1960年以降、開集合の公理で書かれることが主流になった。

(1)と(2)の同値性については後のページで扱う。

参考

次の条件を考える。



とくに、(*1)と(*2)は同値である。

なので、どちらで書いても意味は同じである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)と(*2)が同値であることを確認する。

(*1)を仮定する。

、O、O とおく。

いま、O∩O である。

つまり、O∩O、O である。

よって、(O∩O)∩O である。

以上により、O、O、O ⇒ O∩O∩O である。

これを帰納的に繰り返せば(*2)が得られる。

つまり、任意の n∈ に対して(*2)が成り立つということである。

一方、明らかに、(*2)⇒(*1)である。

以上により、(*1)と(*2)は同値である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、(*1)から(*3)を導くことはできない。

(*1)を帰納的に繰り返しても、(*3)が得られるわけではない。

おそらく、この辺りは誤解されやすい。

その原因は、無限の種類が混同されていることにある。

例えば、次の(1)〜(3)が混同されることが多い。

(1) 帰納的な意味での無限

(2) 集合としての無限

(3) 極限としての無限

例えば、任意の自然数は有限だが、limn→∞n=∞ である。

例えば、任意の自然数は有限だが、自然数全体は無限集合である。

例えば、任意の自然数 n に対して 2−n≠0 だが、limn→∞−n=0 である。

『 帰納法(自然数がいくらでも大きくなること)』 と 『 無限集合 』 と 『 極限 』 はすべて異なる。