一様連続性、一様収束、コーシー列、部分列

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定義 ( 一様連続性 )

(X、d)、(Y、d)を距離空間とする。

f:X→Y を写像とする。

次が成り立つとする。



このとき、「 f は一様連続である 」 という。

「 連続性と一様連続性は何が違うのだろうか?」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

連続性では、点 a∈X に依存してδが決まっていた。

しかし、一様連続性ではδが点に依存しない。

(x、y)<δであれば、任意の点 x、y∈X に対して、d(f(x)、f(y))<εとなるのである。

参考

連続写像は一様連続であるとは限らない。

証明

( 成り立たないことを示すには反例を1つ挙げればよい )

の開区間 I=(0、∞) を考える。

f を次のように定義する。



いま、f は I から への連続写像である。

f が一様連続であると仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

このとき、



ここで、0< x <min{δ、1/(2ε)}とおく。

このとき、|2x−x|<δである。

ところが、|f(2x)−f(x)|=1/(2x) >εである。

これは矛盾である。

補足

f(x)=1/x が一様連続でない原因は、x が 0 に近づくにつれて値が急激に増大することにある。

定義 ( 各点収束 )

A を空でない集合とする。

(fn∈ を A 上で定義された実数値関数の列とする。

任意の点 x∈A に対し、次の極限が存在すると仮定する。



このとき、「(fn∈ は f に収束する(または各点で収束する)」 という。

しかし、実は、各点収束はあまり役に立たない。

そこで、実際には次の一様収束の概念が用いられる。

定義 ( 一様収束 )

A を空でない集合とする。

(fn∈ を A 上で定義された実数値関数列とする。

f を A 上の実数値関数とする。

次が成り立つとする。



このとき、「(fn∈ は f に一様収束する 」 という。

補足

各点収束と一様収束の定義は見た目に似ているが、しっかり区別する必要がある。

各点収束の定義は 「 任意の点 x∈ I に対し、ある N∈ が存在して・・・」 である。

一様収束の定義は 「 ある N∈ が存在して、任意の点 x∈ I に対し、・・・」 である。

一様収束は関数全体が f ±εの範囲に収まるイメージで捉えると分かりやすいであろう。

参考

関数列が各点収束しても一様収束するとは限らない。

例えば、f、f:I→(n∈)を関数とする。

は f に各点収束するとする。

ここで、x∈I とおく。

定義(各点収束)より、



同様に、他の点 x、x、・・・∈I に対して、



ここから、f は f に一様収束すると結論できるであろうか?

次のようにおけばよさそうに思える。



このようにおけば、任意の x∈I に対し、n≧N ⇒|f−f|<εとなる。

よって、一様収束であると結論できるのではないか?

ところが、そもそも N を上記のようにおくことができない。

なぜなら、N、N、・・・は無限個あるからである。

無限個の数から何の条件もなしに最大値を選ぶことはできない。

B35 ( 連続性は一様収束の極限に遺伝する )

(X、d)を距離空間とする。

(fn∈ を X 上で定義された連続関数の列とする。

(fn∈ は f に一様収束するとする。

このとき、f は X 上の連続関数である。

証明

x∈X とおく。

明らかに、|f(x)−f(y)|≦|f(x)−f(x)|+|f(x)−f(y)|+|f(y)−f(y)|である。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n>N ⇒|f(x)−f(x)|<ε/3 となる。

よって、|f(x)−f(y)|≦2(ε/3)+|f(x)−f(y)|である。

一方、f は連続関数である。

よって、あるδ>0 が存在して、d(x、y)<δ⇒|f(x)−f(y)|<ε/3 となる。(※B21)

よって、d(x、y)<δ⇒|f(x)−f(y)|<εである。

よって、f は連続である。

定義 ( コーシー列 )

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

次が成り立つとする。



このとき、(xn∈ を 『 コーシー列 』 という。

定義 ( 部分列 )

A を集合とする。

(xn∈⊂A を点列とする。

ρ: を順序を保つ単射とする。

( つまり、x<y ならばρ(x)<ρ(y)である )

このとき、(yn∈=(xρ(n)n∈ を 『(xn∈ の部分列 』 という。

つまり、(xn∈ から部分的に点を取り出して、新しく点列として並べたものを部分列とよぶ。

ただし、点列を取り出すときに順番を入れ替えてはならない。

B36

(X、d)を距離空間とする。

X における収束列はコーシー列である。

証明

(xn∈ を X の点列とする。

x を(xn∈ の極限とする。

ε>0 とおく。

いま、



m、n>N とすると、



よって、(xn∈ はコーシー列である。

参考

B36の逆は必ずしも成り立たない。

つまり、距離空間(X、d)におけるコーシー列が収束するとは限らない。

証明

( 成り立たないことを示すには反例を1つ挙げればよい。)

X を の開区間(0、1)とする。

ここで、a=1/n とおく。

このとき、(an∈⊂X である。

明らかに、(an∈ はコーシー列である。

しかし、0 は X に属さないので、(an∈ は極限をもたない。

よって、(an∈ は収束列ではない。

B37

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (xn∈ が点 x∈X に収束するならば、(xn∈ の任意の部分列も点 x∈X に収束する。

(2) (xn∈ がコーシー列ならば、(xn∈ の任意の部分列もコーシー列である。

証明

明らかである。

補足

逆に、収束部分列があるからといって、もとの数列が収束するとは限らない。

例えば、1、−1、1、−1、・・・ という数列から収束部分列1、1、1、・・・を取り出すことはできる。

しかし、もとの数列は収束しない。

B38

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X のコーシー列とする。

(xn∈ は、点 x∈X に収束する部分列を含むとする。

このとき、(xn∈ も x に収束する。

証明

(xρ(n)n∈ を (xn∈ の部分列とする。

x を(xρ(n)n∈ の極限とする。

ε>0 とおく。

(xn∈ はコーシー列であるから、



いま、d(xρ(m)、x)<ε/2 である。(※定義:部分列)

( なぜならρ(m)≧m だからである )

(xρ(n)n∈ は x に収束するから、



N=max{N、N}とおく。

m>N とおく。

このとき、



以上により、



よって、(xn∈ は x に収束する。

B39

(an∈ のコーシー列とする。

このとき、集合 { a|n∈ } は有界である。

証明

(an∈ のコーシー列とする。

つまり、



よって、n>N ならば、|a−aN+1|<εである。

つまり、n>N ならば|a|<|aN+1|+εである。

ここで、α=max{|a|、・・・、|a|、|aN+1|+ε}とおく。

いま、任意の n∈ に対して、|a|<αである。

よって、集合 { a|n∈ } は有界である。

補足

もしかすると、

「 最初から数列全部の項から最大値を選べば、一瞬で証明が終わるのでは?」

・・・と考える人がいるかもしれない。

つまり、α=max{|a|、|a|、・・・ } とおけばそれで証明終了、という考え方である。

しかし、実数値の無限集合に最大値が存在する保証はない。

一方、証明の中では、α=max{|a|、・・・、|a|、|aN+1|+ε}とおいている。

この場合、有限個の実数しか考えていないので、この中に必ず最大値があると考えてよい。