開集合、閉集合(距離空間)

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定義 ( 開集合、閉集合 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A=A であるとき、A を 『 X の開集合 』 という。

A= であるとき、A を 『 X の閉集合 』 という。

開集合と閉集合の定義は、直観的にも理解しやすい。図に表すと、



点線で描かれている部分は集合に含まれない。

実線で描かれている部分は集合に含まれる。

B7 ( 開集合に対する同値条件 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

を X の開集合全体とする。

次は同値である。

補足

つまり、上記の(1)〜(3)はいずれも A が開集合であることを意味している。

補足

むろん、定義と同値な条件を定義として採用してもよい。

例えば、(3)を開集合の定義として採用する書物もある。

証明

(1)⇔(2)は定義(開集合)そのままである。

(2)⇔(3)は定義(内部)そのままである。

参考

例えば、2次元ユークリッド空間 を考えてみよう。

このとき、{(x、y)∈|x+y<4}は開集合である。

また、1次元ユークリッド空間 を考えてみよう。

このとき、開区間(2、3)は の開集合である。

また、開区間の和集合(2、3)∪(5、7)も開集合である。

また、(3、∞)なども開集合である。

B8 ( 距離空間は位相空間である )

(X、d)を距離空間とする。

を X の開集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

この定理は 「 距離空間は位相空間である 」 を意味する。

ただし、位相空間論を知らなくても2章を読む分には支障はない。

証明

明らかに次が成り立つ。



よって、X は開集合である。(※B7)

また、明らかにφ =φである。(※定義:内部)

よって、φは開集合である。(※定義:開集合)

以上により、φ、X∈ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、O とおく。

∩O=φの場合、φ∈ であるから、O∩O である。

∩O≠φとする。

x∈O∩Oとおく。

B7より、



ε、ε のうち、小さい方をεとして採用すれば、S(a、ε)⊂O∩O である。

よって、O∩O である。(※B7)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ (λ∈J) とおく。

次のようにおく。



このとき、ある Oλ が存在して a∈Oλ となる。

λ であるから、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂Oλとなる。(※B7)

よって、



よって、B7より、

B9

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が開集合ならば、A は閉集合である。

(2) A が閉集合ならば、A は開集合である。

(1)の証明

A が開集合であると仮定する。

B4(10)より、



よって、A は閉集合である。

(2)の証明

A が閉集合であると仮定する。

このとき、A= である。

よって、A=(である。

よって、A=(A である。(※B4(9))

よって、A は開集合である。

B10 ( 閉集合の性質 )

(X、d)を距離空間とする。

を X の閉集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。(※B8、B9)

証明は第1章のA7と同じであるから、詳しく知りたい人は第1章のA7を参照。

B11 ( 閉集合の特徴づけ〜その1 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

次は同値である。

(1)⇔(2)の証明

これは閉集合の定義そのままである。

(2)⇔(3)の証明

次の(*1)〜(*3)は互いに同値である。(※B9、B7)

(*1) A は X の閉集合

(*2) A は X の開集合

(*3) 任意の点 x∈A に対して、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂A となる。

参考

例えば、2次元ユークリッド空間 を考えてみよう。

このとき、{(x、y)∈|x+y≦4}は閉集合である。

また、1次元ユークリッド空間 を考えてみよう。

このとき、閉区間[2、3]は の閉集合である。

また、閉区間の和集合[2、3]∪[5、7]も閉集合である。

また、[3、∞) なども閉集合である。

B12 ( 閉集合の特徴づけ〜その2 )

(X、d)を距離空間とする。

を X の閉集合全体とする。

このとき、次は同値である。

(1)⇔(2)の証明

これは定義(閉集合)そのままである。( これはB11でも書いたが、あえて再び書いた )

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

明らかに、A である。(※定義:閉包、導集合)

仮定より、=A であるから、A⊂A である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

このとき、次が成り立つ。(※B4)



つまり、⊂A である。

一方、明らかに A⊂ である。(※B4)

よって、=A である。

B13

距離空間(X、d )における任意の開球 S(a、ε) は開集合である。

証明

x∈S(a、ε)とおく。

このとき、d(a、x)<εである。(※B3)

よって、あるε’>0 が存在して、ε’<ε−d(a、x)となる。

y∈S(x、ε’)とおく。

このとき、d(x、y)<ε’である。(※B3)

距離の公理より、



よって、y∈S(a、ε)である。(※B3)

以上により、y∈S(x、ε’) ⇒ y∈S(a、ε)である。

よって、S(x、ε’)⊂S(a、ε)である。

以上により、



よって、S(a、ε)は開集合である。(※B7)

参考

を次のように定める。



このとき、次が成り立つ。



(*)の右辺を見れば分かるように、これは閉集合である。

つまり、開集合の共通部分が閉集合になった。

一見すると、これは B8(2)に矛盾しているように見えるかもしれない。

しかし、矛盾はしていない。

B8(2)は有限個の共通部分に関する主張であることに注意せよ。

補足

実際に、(*)を示してみよう。

レイアウトの都合上、(*)の左辺を ∩n∈ と表す。( こちらの表記も普通に用いられる )

z∈∩n∈ とおく。

z=(x、y)と表す。

いま、任意の n∈ に対し、x+y<(1+1/n) である。

よって、x+y≦1 である。

よって、z∈{(x、y)∈|x+y≦1 } である。

よって、∩n∈⊂{(x、y)∈|x+y≦1 } である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

z∈{(x、y)∈|x+y≦1 } とおく。

このとき、任意の n∈ に対し、x+y<(1+1/n) である。

よって、z∈∩n∈ である。

よって、{(x、y)∈|x+y≦1 } ⊂ ∩n∈ である。