開球、内部、外部、境界、閉包、集積点

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定義 ( ε近傍 )

(X、d)を距離空間とする。

a∈X とする。

εを正の実数とする。

次のように定義する。



このとき、S(a、ε)を 『 a のε近傍 』 という。

または、単に 『ε開球 』 という。

つまり、S(a、ε)は 『 a から d(a、x)<εの範囲内にある点 x の集合 』 である。

a を の点とする。

n=1 のとき、S(a、ε)は開区間(a−ε、a+ε)を意味する。

n=2 のとき、S(a、ε)は半径εの開円板を意味する。

定義 ( 内点、内部 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

a∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、a を 『 A の内点 』 という。

A の内点全体を 『 A の内部 』 といい、A と表す。

定義 ( 外点、外部、境界点、境界線 )

A の補集合 A の内点を 『 A の外点 』 という。

A の外点全体を 『 A の外部 』 といい、A と表す。

A の内点でも外点でもない点を 『 A の境界点 』 という。

A の境界点全体を 『 A の境界 』 といい、A と表す。

定義 ( 触点、閉包 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

a∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、a を 『 A の触点 』 という。

A の触点全体を 『 A の閉包 』 といい、 と表す。

定義 ( 集積点、導集合 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

a∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、a を 『 A の集積点 』 という。

また、A の集積点全体を 『 A の導集合 』 といい、A と表す。

定義 ( 孤立点 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

a∈A とおく。

次が成り立つとする。



このとき、a を 『 A の孤立点 』 という。

定義より、『 A の孤立点 』 は必ず A に属する。

一方、『 A の集積点 』 や 『 A の触点 』 は A に属するとは限らない。



例えば、 において集合 A を次のように定める。



このとき、0 は A の集積点である。 しかし、0 は A に属さない。

参考

言い換えれば、集積点は 「 集合 A の中に点列をとって、近づくことができる点 」 である。

一方、孤立点は 「 集合 A の中にどんな点列をとっても近づくことができない点 」 である。

この説明は第1章(位相空間)では避けていた。

なぜなら、位相空間には点列や距離の概念がないからである。

参考

明らかに、集積点⇒触点である。

しかし、逆は成り立たない。

例えば、孤立点は触点だが、集積点ではない。

B3

(X、d)を距離空間とする。

a∈X とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。(※定義:ε近傍)

B4

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

次が成り立つ。



しかも、(6)において、明らかに、A、A、A は互いに共通部分をもたない。

つまり、X は A、A、A の直和である。

また、次が成り立つ。

(1)の証明

a∈A とおく。

は A の内部であるから、



むろん、a∈S(a、ε)であるから、a∈A である。

以上により、a∈A ⇒ a∈A である。

よって、A⊂A である。

(2)の証明

a∈A とおく。

明らかに、



( 点 a∈A は a 自身と共通部分をもつから当り前である )

よって、a∈ である。

以上により、a∈A ⇒ a∈ である。

よって、A⊂ である。

(3)の証明

定義(外部)そのままである。

(4)の証明

(1)より、A⊂A である。

また、(3)と(1)より、A=(A⊂A である。

A∩A=φであるから、A∩A=φである。

(5)の証明

定義(境界)そのままである。

(6)の証明

(5)より明らか。

(7)の証明

(6)より明らか。(※定義:閉包)

(8)の証明

定義(閉包)より、

(9)の証明

定義(閉包)より、



よって、



( あるいは(6)、(7)、(3)から明らかである )

(10)の証明

まず、A=(A を示す。

(6)より、



( しかも、これらは直和である )

(3)より、



よって、A=(A である。

よって、(7)より、

B5 ( 境界点に対する同値条件 )

次は同値である。

証明

明らかに、

B6

任意の点 a∈A は 『 A の集積点 』 または 『 A の孤立点 』 のどちらか一方である。

証明 ( ほとんど明らかであるが、証明を与えておく )

a∈A であるから、明らかに S(a、ε)∩A≠φである。

( a 自身が a と共通部分をもつから当たり前である )

このとき、次のいずれか一方が必ず成り立つ。

(*1) ∀ε>0 ,S(a、ε)∩(A−{a})≠φ

(*2) ¬ ( ∀ε>0 ,S(a、ε)∩(A−{a})≠φ)

つまり、次のいずれか一方が必ず成り立つ。

(*3) ∀ε>0 ,S(a、ε)∩(A−{a})≠φ

(*4) ∃ε>0 s.t. S(a、ε)∩(A−{a})=φ

つまり、次のいずれか一方が必ず成り立つ。

(*5) ∀ε>0 ,S(a、ε)∩(A−{a})≠φ

(*6) ∃ε>0 s.t. S(a、ε)∩A={a}

つまり、次のいずれか一方が必ず成り立つ。

(*7) a は A の集積点である。

(*8) a は A の孤立点である。

参考

とくに、内点(内部)、触点(閉包)が重要である。