完備距離空間

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定義 ( 完備〜その1 )

(X、d)を距離空間とする。

任意のコーシー列(xn∈⊂X は収束するとする。

このとき、「 X は完備である 」 という。

定義 ( 完備〜その2 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は X の部分距離空間として完備であるとする。

このとき、「 A は完備である 」 という。

つまり、A が完備であることは次の(*1)、(*2)を意味する。

(*1) 任意のコーシー列(xn∈⊂A は収束部分列を含む。

(*2) コーシー列(xn∈⊂A の極限は A に属する。

とくに、(*2)を見落とさないように注意が必要である。

B49

次は同値である。

(1) X、Y は完備である。

(2) X×Y は完備である。

証明

(1)を仮定する。

(pn∈ を X×Y のコーシー列とする。

=(x、y)とおく。

明らかに、(xn∈、(yn∈ はそれぞれ X、Y のコーシー列である。

よって、(xn∈、(yn∈ は収束する。

よって、(pn∈ は収束する。(※B26)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(xn∈、(yn∈ をそれぞれ X、Y のコーシー列とする。

=(x、y)とおく。

明らかに、(pn∈ は X×Y のコーシー列である。

よって、(pn∈ は収束する。

よって、(xn∈、(yn∈ は収束する。(※B26)

B50

ユークリッド空間 は完備である。

証明

まず、 が完備であることを示す。

(an∈ のコーシー列とする。

このとき、集合 { a|n∈ } は有界である。(※B39)

よって、ある実数α>0 が存在して、次が成り立つ。



実数 x に対し、次のようにおく。



このとき、A(x)⊂ である。

B を、A(x)が有限集合となるような x 全体とする。

つまり、



(*)より、A(−α)=φである。

よって、−α∈B である。

よって、B≠φである。

また、明らかに、x’< x ⇒ A(x’)⊂A(x)である。

よって、x’<x ⇒ cardA(x’)≦cardA(x)である。

よって、x’<x とすると、x∈B ⇒ x’∈B である。(★1)

また、(*)より、A(α)= である。

よって、α は B に属さない。(★2)

(★1)、(★2)より、α は B の1つの上界である。

よって、上限 supB=b が存在する。(※実数の連続性)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

( 以下、コーシー列(an∈ がこの b に収束することを示す )

ε>0 とおく。

いま、(an∈ はコーシー列であるから、



また、



よって、A(b−ε/2)は有限集合、A(b+ε/2)は無限集合である。

よって、次の集合も無限集合である。



よって、



このとき、



よって、



以上により、 は完備である。

よって、 は完備である。(※B49)

B51

(X、d)を全有界な距離空間とする。

このとき、任意の点列(xn∈⊂X は、部分列としてコーシー点列を含む。

証明

n∈ とおく。

いま、(X、d)は全有界である。

よって、X の有限部分集合 A が存在して、次が成り立つ。



(0)=(xn∈ を(X、d)の点列とする。

ここで、n=2 の場合について考える。

つまり、



有限集合 A に属する点 a を選んで、次の集合 N が無限集合となるようにできる。(★)



ここで、s(0)の部分列 s(1)=(x(1)n∈ を次が成り立つように定める。



同様に、有限集合 A2k に属する点 a を選んで、

次の集合 N が無限集合となるようにできる。



ここで、s(k−1)の部分列 s(k)=(x(k)n∈ を次が成り立つように定める。



このとき、任意の k∈ に対して、s(k)=(x(k)n∈ は次を満たす。



ここで、s=(x(k)k∈ とおく。

このとき、s は s(0) の部分列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

このとき、ある k∈ が存在して、1/k<εとなる。

m、n≧k ならば x(m)、x(n) は s(k) に含まれる。

よって、



以上により、



よって、sは(X、d)のコーシー列である。

(★)についての補足

「 なぜ無限集合となるようにできるのだろう?」・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

いま、点 x は無限に存在するが、A は有限集合であることに注意しよう。

つまり、無限個の点列を有限個の開球で被覆している。

よって、少なくとも1つの開球は無限個の点列を含んでいる。



( 便宜のため、上図では開球をマス目で表した )

B52

(X、d)を完備距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は完備である。

(2) A は閉集合である。

証明

(1)を仮定する。

x∈ とおく。

このとき、ある点列(xn∈⊂A が存在して、x→x となる。(※B20)

( このとき、各 x は A に属するが、x が A に属するか否かは分かっていないことに注意 )

(xn∈⊂A は収束列であるから、コーシー列である。(※B36)

A は完備であるから、(xn∈ はある点 y∈A に収束する。

極限は一意的であるから、x=y∈A である。(※B17)

以上により、⊂A である。

よって、=A である。

よって、A は X の閉集合である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(xn∈⊂A をコーシー列とする。

これは X のコーシー列でもある。

X は完備であるから、(xn∈ はある点 x∈X に収束する。

よって x∈ である。(※B20)

A は閉集合であるから、x∈A である。

よって、A は完備である。