基本近傍系、可算公理、稠密

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定義 ( 基本近傍系 )

(X、)を位相空間とする。

(x)を点 x∈X の近傍系とする。

(x)⊂(x) であるとする。

次が成り立つとする。



このとき、(x) を 『 x の基本近傍系 』 という。

近傍系よりも基本近傍系の方が便利である。

このことを直観的に図で説明してみよう。

既に述べたように、近傍系(x)では、様々な近傍を想定しなければならない。



これは非常に面倒である。

そこで、例えば、次のような集合を考えてみる。

( つまり、半径が限りなく小さくなる円の集合である )



これは基本近傍系の定義を満たしている。

実際、任意の U∈(x)に対し、ある V∈(x)が存在して、V⊂U となる。

つまり、基本近傍系さえ考えれば、任意の近傍の内側に近傍をとることができる。

よって、基本近傍系を考えるだけで、実質的には近傍系と同じ効果をもつ。

復習 ( 可算無限 )

可算無限集合とは、自然数全体との間に全単射が存在する集合である。

簡単に言えば、可算無限集合とは、自然数と同じ個数の元をもつ集合である。

復習 ( 高々可算 )

高々可算集合とは、可算無限集合または有限集合を意味する。

つまり、A が高々可算であることは cardA≦card を意味する。

定義 ( 第1可算公理 )

(X、)を位相空間とする。

任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。

このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。

定義 ( 第2可算公理 )

(X、)を位相空間とする。

X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在するとする。

このとき、「 X は第2可算公理を満たす 」 という。

定義 ( 稠密 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

=X であるとする。

このとき、「 A は X において稠密である 」 という。

定義 ( 可分 )

(X、)を位相空間とする。

X において稠密かつ高々可算な部分集合が存在するとする。

このとき、「 X は可分である 」 という。

A18 ( 稠密性に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

次は同値である。

(1) A は X において稠密である。

(2) 任意の O∈ に対し、O≠φ⇒O∩A≠φである。

証明

明らかである。(※A11)

別証明

次は全て同値である。

(*1) =X である。

(*2) (=φである。

(*3) (A=φである。(※A12)

(*4) A に含まれる開集合はφのみである。

(*5) A に(空でない)開集合 O は含まれない。

(*6) (空でない)開集合 O について、O∩A≠φである。

A19 ( 第2可算⇒可分 )

位相空間(X、)が第2可算公理を満たすとする。

このとき、X は可分である。

証明

仮定より、X は高々可算個の開集合から構成される基底 ={B、B、・・・ }をもつ。

の各元から1つの元 bλ(λ∈)を取り出して、集合 A を作る。(※選択公理)

つまり、A={ bλ|λ∈ } である。

( むろん、A は X の部分集合である )

O を空でない開集合とする。

いま、 は基底である。

よって、ある Bλ が存在して、Bλ⊂O となる。

よって、bλ∈O である。

よって、O∩A≠φである。

以上により、任意の O∈(ただしO≠φ)に対し、O∩A≠φである。

よって、A は X において稠密である。(※A18)

しかも、A は高々可算集合である。

よって、X は可分である。

参考

位相空間ではA19の逆が成り立つとは限らない。

つまり、位相空間 X が可分であっても、X が第2可算公理を満たすとは限らない。

しかし、距離空間ではA19の逆も成り立つ。

A19は一般の位相空間の議論では役に立たないが、距離空間では役に立つ。