粗い、細かい、基底

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A14 ( 開集合に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次は同値である。

(1)⇔(2)

明らかである。( A4を書き直しただけである )

(1)⇔(3)の証明

(1)⇒(3)は明らかである。(※A1)

(3)を仮定する。

x∈O とおく。

いま、O は x の近傍である。

よって、



よって、



各 U は開集合であるから、O は開集合である。(※開集合の公理)

よって、O∈ である。

補足

A14(3)⇒(1)の考え方は非常に重要である。

この部分を外部委託(アウトソース)することはあまり得策ではないであろう。

なので、以下では、A14 を引用せずに、この論法を直接的に使用することも多い。

定義 ( 粗い、細かい )

X を空でない集合とする。

を X の位相とする。

であるとする。

このとき、「 よりも粗い 」 という。

または、「 よりも細かい 」 という。

とくに、 の真部分集合であるとき、「 よりも真に粗い 」 という。

または、「 よりも真に細かい 」 という。

A15

(X、)、(X、)を位相空間とする。

(x)を によって定まる近傍系とする。

(x)を によって定まる近傍系とする。

このとき、次は同値である。

証明

(1)を仮定する。

x∈X とおく。

U∈(x)とおく。

いま、近傍の定義より、



仮定(1)より、上式は次のように表せる。



よって、U∈(x) である。

以上により、(x)⊂(x) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

O∈ とおく。

A14より、



よって、仮定(2)より、



よって、O∈ である。(※A14)

以上により、 である。

定義 ( 基底 )

(X、)を位相空間とする。

とする。( つまり、 の任意の元は開集合である )

次が成り立つとする。



このとき、 を 『 の基底 』 という。

『 基底 』 を 『 開基 』 と呼ぶこともある。

つまり、任意の O∈ は、 に属する集合の和集合として再現できる。

位相 の正体が複雑な場合でも、基底 がシンプルな形をしていることもある。

そのようなとき、基底という概念は便利である。

ちなみに、位相空間論には 『 直積位相 』 という概念がある。

直積位相の構造は複雑であり、直観的に全容を理解することは困難である。

ところが、その直積位相の基底は非常にシンプルな形をしている。

A16 ( 基底に対する同値条件〜その1 )

(X、)を位相空間とする。

の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1)  の基底である。

(2) 任意の O∈ に対し、次が成り立つ。



(3) ある が存在して、任意の O∈ に対し、次が成り立つ。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

O∈ とおく。

x∈O とおく。

いま、



よって、



={ B | x∈O } とおくと、



以上の内容をまとめると、



よって、 の基底である。

(2)⇔(3)の証明

明らかである。

A17 ( 基底に対する同値条件〜その2 )

X を集合とする。

を X の部分集合系とする。

このとき、次は同値である。

(1)  は X のある位相の基底である。

(2) 次が成り立つ。

証明

(1)を仮定する。

X 自身も X の開集合である。(※開集合の公理)

よって、次が成り立つ。(※定義:基底)



、B とおく。

いま、 である。(※定義:基底)

よって、B、B の開集合である。

よって、B∩B の開集合である。(※開集合の公理)

よって、A16より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

を次のように定める。



( つまり、 は X の部分集合系である )

( 後は、 が位相であることを示せばよい )

明らかに、 の定め方より、



λ (λ∈J ) とおく。

の定め方より、



ここで、次のようにおく。



いま、 である。

また、



よって、 の定め方より、



以上により、



、O とおく。

の定め方より、



よって、



ここで、x∈B∩B とおく。

仮定(2)より、



よって、



よって、 の定め方より、



(*a)、(*b)、(*2) より、O∩O である。

以上により、



(*1)〜(*3)より、 は位相である。(※開集合の公理)

しかも、 の定め方より、 の基底である。(※定義:基底)

参考

このページでは 『 位相の基底 』 を定義した。

既に述べたように、位相の基底は次のことを意味する。

(*1) 任意の O∈ は、基底の和集合として表される。

一方、線形代数では 『 ベクトル空間の基底 』 が登場する。

線形代数でよく知られているように、ベクトル空間の基底は次のことを意味する。

(*2) 任意の v∈V は、基底の元の1次結合で表される。

見れば分かるように、(*1)と(*2)は考え方が同じである。

数学の学習は最初は次々と新しい概念が登場するので大変に感じる人がいるかもしれない。

しかし、いま上でも述べたように、異なる分野で共通する考え方がいくつかある。

この意味で、実は新しい概念が登場するのは序盤だけであるともいえる。