精密化(任意の集合は空集合を含む)

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参考

第1章では次のような規約を採用した。

「 任意の集合 A についてφ⊂A が成り立つ 」

このページでは、命題論理と述語論理を用いて、これを定理として証明しよう。

定義 ( 部分集合:精密化 )

X を変数 x の変域とする。

A、B を集合とする。

命題∀x∈X(x∈A→x∈B) が真であるとき、A⊂B と表す。

このとき、「 A は B の部分集合である 」 または 「 A は B に含まれる 」 という。

部分集合については第1章でも定義した。

ここでは、命題論理と述語論理を意識して、その定義を精密化したのである。

参考

例えば、A={1、2}、B={1、2、3}とする。

このとき、A⊂Bとなる。

実際に確認してみよう。

ここでは X= としておこう。

まず、x=1の場合を考える。

いま、x∈A は真である。x∈B も真である。

よって、x∈A→x∈B も真である。

次に、x=4 の場合を考える。

いま、x∈A は偽である。

よって、x∈A→x∈B は真である。

同様に、x=5、6、7、・・・の場合も x∈A→x∈B は真である。

このように、x=1、2 のみならず、x=3、4、5、・・・の場合も x∈A→x∈B は真である。

つまり、∀x∈(x∈A→x∈B)である。

よって、A⊂B である。

ところで、X= や X= の場合はどうなるであろうか?

この場合も、変わらず A⊂B が成り立つことが分かるであろう。

つまり、変域 X はそれほど重要ではない。

結局、「 A の要素が全て B に含まれている 」 が A⊂B の定義であると考えればよい。

集合論の教科書ではそのように素朴に定義することが多い。

このサイトでも、第1章ではそのように定義した。

定義 ( 集合の相等:精密化 )

A、B を集合とする。

A=B を次のように定義する。

集合の相等については第1章でも定義した。

ここでは、命題論理と述語論理を意識して、その定義を精密化したのである。

定義 ( 強い条件、弱い条件 )

P(x)、Q(x)を自由変数 x に関する述語とする。

さらに、{ x | P(x)}⊂{ x | Q(x)} とする。

このとき、「P(x)はQ(x)よりも強い条件である」という。

また、「Q(x)はP(x)よりも弱い条件である」という。

P(x)をQ(x)の十分条件といい、Q(x)をP(x)の必要条件という習慣もある。

しかし、これは混乱しやすいので、このサイトでは使用を避けている。

一方で、条件が強い・弱いという表現は意味が掴みやすい。

これらの用語も、実際に広く使用されている。

参考 ( 部分集合の言い換え )

次の(1)〜(6)はすべて同じ意味である。

(1) ∀x∈X(P(x)→Q(x))

(2) P(x)の真理集合に属する元はQ(x)の真理集合に属する。

(3) P(x)の真理集合は Q(x) の真理集合の部分集合である。

(4) { x | P(x)}⊂{ x | Q(x)}

(5) P(x)はQ(x)より強い条件である。

(6) Q(x)はP(x)より弱い条件である。

Z10

空集合の部分集合は空集合のみである。

解答

A⊂φとする。

つまり、∀x∈X(x∈A→x∈φ)は真であるとする。

集合 A は空集合でないとする。(背理法)

いま、ある x∈X が存在して、x∈A が真である。

よって、x∈φは真である。

これは矛盾である。

よって、A は空集合である。

Z11

X を普遍集合とする。

任意の集合 A に対してφ⊂A が成り立つ。

証明

任意の x∈X に対し、x∈φは偽である。

よって、∀x∈X(x∈φ→x∈A) は真である。

よって、φ⊂A である。

補足

あるいは、Z8 より明らかであるとしてもよい。

参考

実質的に、次の2つは区別しなくてもよい。

(*1) x∈A→x∈B

(*2) ∀x(x∈A→x∈B)

そこで、(*1)や(*2)をまとめて次のように表す書物が多い。

(*3) x∈A ⇒ x∈B

このサイトでも(*3)のような表記を用いる。

参考

A、B を集合とする。

このとき、次の(*1)、(*2)は同じ意味である。

(*1) A=B

(*2) x∈A ⇔ x∈B

ただし、(*1)の = を ⇔ に置き換えたり、(*2)の ⇔ を = に置き換えてはならない。

参考

命題論理と述語論理は重要ではあるが、それほど大きな問題ではないことも分かるであろう。

また、命題論理や述語論理を最初から学生に叩きこめば、初学者が混乱することは必然であろう。

なので、第1章〜第4章では → と ⇒ を区別せずに ⇒ を用いた。