直径、集合間の距離

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定義 ( 直径 )

(X、d)を距離空間とする。

A(≠φ)を X の部分集合とする。

このとき、像 d(A×A)={d(x、y)| x、y∈A}は の部分集合である。

その上限 supd(A×A)を 『 A の直径 』 といい、diamA と表す。

つまり、



diamA<∞ であるとき、「 A は有界である 」 という。

A が上界をもたない場合には diamA=∞ と表す。

B27

(X、d)を距離空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の部分集合 A(≠φ)に対し、0≦diamA≦∞ である。

(2) A⊂X が1点集合であるときのみ、diamA=0 である。

(3) 任意の A、B⊂X に対し、A⊂B ⇒ diamA≦diamB である。

証明

明らかである。

B28

(X、d)を距離空間とする。

S(a、ε)を X のε開球とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

x、y∈S(a、ε)とおく。

このとき、d(x、y)≦d(x、a)+d(a、y)<ε+ε=2εである。

つまり、d(x、y)<2εである。

よって、diamS(a、ε)≦2εである。( 不等号の形に注意 )

B29

(X、d)を距離空間とする。

A(≠φ)を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は有界である。

(2) ある点 a∈X に対し、あるε>0 が存在して、A⊂S(a、ε)となる。

(3) 任意の点 x∈X に対し、あるε>0 が存在して、A⊂S(x、ε)となる。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

a∈X とおく。

いま、diamA<∞ である。

そこで、diamA=γ とおく。( つまりγは実数である )

y∈A とおく。

x∈A とおく。

このとき、d(a、x)≦d(a、y)+d(y、x)≦d(a、y)+γである。

つまり、任意の x∈A に対し、d(a、x)≦d(a、y)+γである。

( ただし、γと y は固定したままであることに注意。よって、右辺は固定された実数である )

ここで、d(a、y)+γより大きい数をεとして採用する。

このとき、A⊂S(a、ε)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

明らかに、A は有界である。(※B28)

(2)⇔(3)の証明

明らかである。

補足

条件(2)を部分集合の有界性の定義として採用している書物も多い。

参考

における有界性を次のように定義することもできる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A(≠φ)を の部分集合とする。

あるε>0 が存在して、A⊂S(0、ε)となるとする。

( S(0、ε)は原点を中心とするε近傍である )

このとき、「 A は有界である 」 という。

B30

(X、d)を距離空間とする。

、・・・、A を X の有界部分集合とする。

このとき、A∪・・・∪A も有界である。

証明

a∈X とおく。

このとき、あるε>0 が存在して、A⊂S(a、ε)となる。(※B29)

同様にして考えると、A⊂S(a、ε)、・・・、A⊂S(a、ε)である。

ε=max{ε、・・・、ε}とおくと、A∪・・・∪A⊂S(a、ε)である。

よって、A∪・・・∪A は有界である。

定義 ( 部分集合の間の距離 )

(X、d)を距離空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

( ただし A≠φ、B≠φとする )

このとき、像 d(A×B)={d(x、y)| x∈A、y∈B}は の部分集合である。

明らかに、d(A×B)は下界をもつ。

( 距離の公理により、少なくとも 0 が1つの下界になる )

d(A×B)は の部分集合であるから、下限 infd(A×B)が存在する。(※実数の連続性)

そこで、infd(A×B) を 『 A と B の間の距離 d(A、B) 』 と定義する。

つまり、



とくに、A={x}の場合、d(A、B)を d(x、B)と表す。

B31

(X、d)を距離空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

( ただし、A≠φ、B≠φとする )

このとき、次が成り立つ。

証明

いずれも明らかである。

補足

ただし、(4)の逆が成り立つとは限らないことに注意。

例えば、 上でA=[1、2)、B=[2、5] としてみよう。

このとき、d(A、B)=0 であるが、A∩B=φである。

B32

(X、d)を距離空間とする。

x∈X とおく。

A(≠φ)を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

以下はいずれも同値である。(※定義:閉包)

(1) d(x、A)=0

(2) 任意のε>0 に対し、ある y∈A が存在して、d(x、y)<εとなる。

(3) 任意のε>0 に対し、S(x、ε)∩A≠φ

(4) x∈

B33

(X、d)を距離空間とする。

x、y∈X とおく。

A(≠φ)を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

z∈A とおく。

このとき、d(x、A)≦d(x、z)≦d(x、y)+d(y、z)である。

よって、d(x、A)−d(x、y)≦d(y、z)である。

よって、d(x、A)−d(x、y)≦ inf{d(y、z)| z∈A}=d(y、A)である。

よって、d(x、A)−d(y、A)≦d(x、y)である。

同様に、d(y、A)−d(x、A)≦d(x、y)である。

B34

(X、d)を距離空間とする。

A(≠φ)を X の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、f は X 上の実連続関数である。

証明

ε>0 とおく。

いま、|f(x)−f(y)|≦d(x、y)である。(※B33)

よって、d(x、y)<ε ⇒ |f(x)−f(y)|<εである。

よって、f は連続関数である。(※B21)