まとめ(濃度による集合の分類)

サイトのTOP→理系インデックス
集合論のTOP→集合論インデックス





まとめ ( 濃度による分類 )

2つの集合の間に全単射が存在するという関係は同値関係である。(※D6)

つまり、濃度によって集合を分類することができる。

ここまでの内容をまとめると、各集合は次のように分類される。

(1) × は同じ濃度をもつ。(※D7、D15)

(2)  より大きな濃度をもつ。(※D17)

(3) [a、b]、(0、1]、(0、1)、 は同じ濃度をもつ。(※D16、D19)

(4) 2 は X より大きな濃度をもつ。(※D8)

(5) 2 と Map(X、{0、1}) は同じ濃度をもつ。(※C1)

(6) 全射 f:X→Y が存在するならば、Y と X/〜 は同じ濃度をもつ。(※D5)

このように、数学的対象に同値関係を導入し、分類することによって見通しがよくなる。

これは数学の究極的な目標の1つと言ってもよいであろう。

参考

濃度は 『 個数 』 の概念を拡張したものであると言える。

それゆえ、自然数と有理数の個数が同じであるという事実は衝撃的である。

なぜ、このようなことが起こるのだろうか?

この違和感の正体は何であろうか?

その正体は無限の特徴 「 部分と全体が1対1で対応すること 」 にあると言えるかもしれない。

例えば、 を自然数全体の集合とする。

={2、4、6、・・・}とする。

つまり、2 の真部分集合である。

f:→2 を f(n)=2n で定義する。

すると、f は全単射である。

つまり、 と 2 の元は、すべて1対1で対応する。

このように、無限個の場合には、部分と全体がすべて対応する。

一方、有限個の場合、このようなことは起こらない。

例えば、A={ 1、2、3、4、5 } という有限集合を考える。

B={ 1、2、3 } は A の真部分集合である。

このとき、A と B の元がすべて1対1で対応するなどということがある得るだろうか?

あり得ない。

つまり、部分と全体がすべて1対1で対応することは、無限の特徴である。