まとめ(位相空間の分類)

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定義 ( 距離付け可能 )

(X、) を位相空間とする。

X に距離関数 d を導入して、(X、d)の自然な位相 と位相 が一致するようにできるとする。

このとき、(X、)は 『 d によって距離付け可能 』 であるという。

参考 ( 位相空間の分類 )

各記号の意味を次のように定める。

: T空間

H : ハウスドルフ空間

R : 正則空間 ( 英語の Regular に由来 )

N : 正規区間 ( 英語の Normal に由来)

M : 距離付け ( 英語の Metrize に由来 )

: 第1可算公理

: 第2可算公理

C : コンパクト性

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各関係をまとめると、次のようになる。( このサイトで全てを示したわけではない )

M ⇒ N ⇒ R ⇒ H ⇒ T

R+C ⇔ N+C ⇔ M+C

H+C ⇔ N+C ⇔ R+C

H+C+C ⇔ M+C

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次の(1)〜(3)を表にまとめよう。( このサイトで全てを示したわけではない )

(1) 位相空間からその部分空間に遺伝するか否か。

(2) 有限個または無限個の位相空間から直積空間に遺伝するか否か。

(3) 位相空間からその商空間に遺伝するか否か。

必ず遺伝する場合には○、必ずしも遺伝しない場合は×で表示する。

ただし、これらの関係をすべて把握しなければならないということではない。

コンパクト性が直積空間に遺伝することは 『 チコノフの定理 』 として知られている。

チコノフの定理についてはツォルンの補題を用いた証明が知られている。