内部、閉包の性質(距離空間)

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B14 ( 内部の性質 )

(X、d)を距離空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ちなみに、これは第3章の 『 開核作用子の公理 』 と関連する。

(1)の証明

明らかである。(※B8、定義:開集合)

(2)の証明

A⊂B と仮定する。

定義(内部)より、



よって、A⊂B である。

(3)の証明

明らかに、A∩B⊂A、A∩B⊂B である。

よって、(2)より、(A∩B)⊂A、(A∩B)⊂B である。

よって、(A∩B)⊂A∩B である。

一方、



よって、A∩B ⊂ (A∩B) である。

以上により、(A∩B)=A∩B である。

(4)の証明

x∈A とおく。

定義(内部)より、



いま、(2)より、(S(x、ε))⊂A である。

また、S(x、ε)は開集合である。(※B13)

よって、(S(x、ε)) =S(x、ε)である。

よって、S(x、ε)⊂A である。

よって、x∈(A である。

以上により、x∈A ⇒ x∈(A である。

よって、A ⊂(A である。(★1)

一方、明らかに、A⊂A である。

よって、(2)より、(A⊂A である。(★2)

(★1)、(★2)より、A=(A である。

B15 ( 閉包の性質 )

(X、d)を距離空間とする。

A、B を X の部分集合とする。

次が成り立つ。

補足

ちなみに、これは第3章の 『 閉核作用子の公理 』 と関連する。

(1)の証明

明らかである。(※B10、定義:閉集合)

(2)の証明

A⊂B と仮定する。

定義(閉包)より、



よって、 である。

(3)の証明

定義(閉包)より、



よって、x∈A∪B ⇒ x∈である。

よって、A∪B である。(★1)

一方、明らかに、A⊂A∪B、B⊂A∪B である。

よって、(2)より、A∪BA∪B である。

よって、A∪B である。(★2)

(★1)、(★2)より、A∪B である。

(4)の証明

x∈ とおく。

定義(閉包)より、



そこで、y∈S(x、ε)∩ とおく。

このとき、d(x、y)<εである。(※B3)

よって、あるε’>0 が存在して、ε’<ε−d(x、y)となる。

ここで、z∈S(y、ε’)とおく。

このとき、d(y、z)<ε’である。(※B3)

距離の公理より、



よって、z∈S(x、ε)である。(※B3)

以上により、z∈S(y、ε’)⇒z∈S(x、ε)である。

よって、S(y、ε’)⊂S(x、ε)である。

しかも、y∈ であるから、S(y、ε’)∩A≠φである。

よって、S(x、ε)∩A≠φである。

よって、



よって、x∈ である。

以上により、x∈ ⇒ x∈ である。

よって、 である。(★1)

一方、明らかに、A⊂ である。

よって、(2)より、 である。(★2)

(★1)、(★2)より、 である。

B16

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A は A に含まれる最大の開集合である。

(2)  は A を含む最小の閉集合である。

(1)の証明

明らかに、A は開集合である。(※B14(4)、定義:開集合)

O を、A に含まれる開集合とする。

つまり、O⊂A である。

よって、O⊂A である。(※B14)

O は開集合であるから、O=O である。

よって、O⊂A である。

よって、A は A に含まれる最大の開集合である。

(2)の証明

明らかに、 は閉集合である。(※B15(4)、定義:閉集合)

F を、A を含む閉集合とする。

つまり、A⊂F である。

よって、 である。(※B15)

F は閉集合であるから、 =F である。

よって、⊂F である。

よって、 は A を含む最小の閉集合である。