距離の公理

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定義 ( 距離の公理 )

X を空でない集合とする、

d:X×X→[0、∞)を関数とする。

任意の点 x、y、z∈X に対し、次が成り立つとする。



このとき、d を 『 X 上の距離関数 』 という。

X に距離関数 d を導入したものを(X、d)と表す。

(X、d)を 『 距離空間 』 という。

(1)〜(3)を 『 距離の公理 』 という。

とくに、(3)は3角形の3辺の関係を一般化したものである。

3角形の性質のみを取り出し、距離が満たすべき本質的な公理として採用するのである。

つまり、d は直積X×Xの元に 0 以上の実数を対応させた関数である。

距離関数 d の例は多く存在する。

早速その代表例を紹介したいところだが、その前に次の定理を示しておこう。

B1 ( シュワルツの不等式 )

任意の実数 x、y (1≦i≦n)に対し、次が成り立つ。

補足

「 この不等式は覚えにくい 」 と感じる人がいるかもしれない。

無理に暗記する必要はないが、簡単に覚える方法がある。

上式の左辺は、積 x の和の2乗である。

上式の右辺は、2乗 x や y の和の積である。

つまり、左辺は積→和→2乗であり、右辺は2乗→和→積である。

この意味で、逆になっていることが分かる。

証明

関数 f(t)を次のように定める。



f(t)の定義により、f(t)≧0 であるから、上式の判別式は、



よって、シュワルツの不等式が導かれた。

B2

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)∈ に対し、関数 d を次のように定義する。



このとき、d は距離の公理を満たす。

証明

明らかに、次が成り立つ。



つまり、d(x、y)=0 ⇔ x=y である。(★1)

明らかに d(x、y)=d(y、x)である。(★2)

B1(シュワルツの不等式)より、



よって、d(x、y)≦d(x、z)+d(z、y)である。(★3)

(★1)〜(★3)より、d は距離の公理を満たす。

定義 ( ユークリッド空間 )

B2 の距離関数 d が定義された距離空間(,d)を 『 n 次元ユークリッド空間 』 という。

例えば、n=2 とすれば、これは中学・高校で学んだ平面座標と同じになる。

参考

日常的に 『 距離 』 というと、それは2次元または3次元ユークリッド空間を意味する場合が多い。

ここで、

「 それ以外に距離などあるだろうか?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

そこで、例えば、次のように各辺の長さが1であるような格子を考えてみよう。



いま、A から B までの距離はいくつであろうか?

+2=13 であるから、√13 と答えるのもよいであろう。

しかし、点A から 点B まで移動するときに線の上しか通れないとしたらどうだろう?

この場合、A から B までの距離を 3+2=5 と考えた方が自然ではないだろうか。

この距離は 『 距離の公理 』 を満たしている。

距離という概念を唯1つに定める必要はないことが伝わるであろう。