凸集合⇒弧状連結⇒連結

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定義 ( 自然な位相 )

(X、d)を距離空間とする。

(X、d)の開集合全体は位相空間の公理を満たす。(※B8)

そこで、距離空間の開集合全体を位相として採用すれば、X は位相空間になる。

このように、距離空間(X、d)に対して自然に定まる位相を 『 自然な位相 』 という。

既に第2章で述べたように、 に対して自然な距離が入る。

むろん、この距離に対して自然な位相が入る。

つまり、 には自然に位相が入る。

参考 ( 第1章と第2章の比較 )

距離空間に自然な位相を導入しよう。

このとき、位相空間論の定理はすべて距離空間論にも適用できる。

例えば、

(1) A5 は B14 の一般化である。(※B8)

(2) A10 は B15 の一般化である。(※B8)

(3) A20 は B22 の一般化である。(※B8)

つまり、第1章を既知とすれば、B14、B15、B22 の証明は省略(または一部省略)できる。

参考

このページでは 凸集合、弧状連結、連結 について解説する。

これらの概念は直観的に分かりやすいし、解析学、複素解析、位相幾何などで有用である。

また、その理論を理解するためには 『 連続写像 』 に関する基本的な知識があれば十分である。

また、定理の証明も簡単なものが多いので、学習としても良い題材になるし、試験にも出題しやすい。

とくに、このページでは次のことを示す。

(1) 位相空間において一般に 「 弧状連結⇒連結 」 である。

(2)  において 「 凸集合⇒弧状連結⇒連結 」 である。

(3)  において 「 凸集合⇔弧状連結⇔連結 」 である。

連結性と弧状連結は純粋に位相空間の概念として定義できる。

よって、開集合や連続写像を説明した後に連結性や弧状連結を解説することもできる。

つまり、連結性や弧状連結に関する議論は第1章に載せることも可能である。

しかし、位相空間論の本流は 『 コンパクト性 』 や 『 分離公理 』 にある。

ゆえに、話が分岐するのを避けるために、第3章に載せたのである。

さらに、既に上でも述べたように、連結性と弧状連結はユークリッド空間でも重要な意味をもつ。

ゆえに、距離空間上と位相空間上の連続写像が本質的に同じ意味であることを知っていることが望ましい。

これも、連結性や弧状連結性を第3章に載せた理由である。

定義 ( 連結性〜その1 )

(X、) を位相空間とする。

ある開集合 V、W が存在して、次が成り立つとする。

(*) V∪W=X、V∩W=φ、V≠φ、W≠φ

このとき、「 X は連結でない 」 という。

また、(*)を満たす V、W が存在しないとき、「 X は連結である 」 という。

つまり、連結性は、その空間を開集合によって分割できるか否かを意味する。

連結性の証明は対偶で示した方が分かりやすいことが多い。

なので、「 連結でない場合 」 を考えることが多い。

定義 ( 連結性〜その2 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は X の部分空間として連結であるとする。

このとき、「 A は ( X において ) 連結である 」 という。

つまり、A が X において連結であるとは、次が成り立つことを意味する。

(*) A⊂V∪W、A∩V∩W=φ、A∩V≠φ、A∩W≠φ

もしかしたら、上記の言い換えが分からないという人がいるかもしれない。

そこで、これについて詳しく説明しておこう。

いま、A が X において連結であるとする。

定義によれば、これは、A が X の部分空間として連結であることを意味する。

つまり、A の開集合 V、W が存在して、次を満たす。

(*1) V∪W=A、V∩W=φ、V≠φ、W≠φ

いま、X の開集合 V が存在して、V=A∩V と表せる。(※定義:相対位相、部分空間)

また、X の開集合 W が存在して、W=A∩W と表せる。(※定義:相対位相、部分空間)

よって、

(*2) A⊂V∪W、A∩V∩W=φ、A∩V≠φ、A∩W≠φ

P1 ( 連結性に対する同値条件 )

位相空間(X、) について、次は同値である。

(1) X は連結である。

(2) A⊂X が開集合かつ閉集合ならば、A=X または A=φである。

証明

(1)を仮定する。

A が開集合かつ閉集合であるとする。

いま、A、A は開集合である。

また、A∪A=X であり、A∩A=φ である。

よって、「 A≠φ かつ A≠φ 」 は成り立たない。(※定義:連結)

よって、A=φ または A=φである。

つまり、A=φ または A=X である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

X は連結でないと仮定する。(背理法)

いま、ある開集合 V、W が存在して、次を満たす。

(*) V∪W=X、V∩W=φ、V≠φ、W≠φ

つまり、V=X−W である。

W は開集合であるから、V は閉集合である。

よって、V は開集合かつ閉集合である。

しかも、(*)より、V≠X かつ V≠φである。

これは仮定(2)に矛盾する。

P2 ( 連結性は連続写像の像に遺伝する )

f:X→Y を連続写像とする。

A を X の連結集合とする。

このとき、f(A) は Y において連結である。

証明

f(A) は Y において連結でないとする。(対偶)

いま、開集合 V、W⊂Y が存在して、f(A)⊂V∪W、f(A)∩V∩W=φ、f(A)∩V≠φ、f(A)∩W≠φ となる。

よって、A⊂f−1(V)∪f−1(W)、A∩f−1(V)∩f−1(W)=φ、A∩f−1(V)≠φ、A∩f−1(W)≠φ である。

つまり、A は X において連結ではない。

P3

A を X の連結集合とする。

B を X の連結集合とする。

A⊂B⊂ であるとする。

このとき、B も連結である。

補足

むろん、この定理によって が連結であることが分かる。

証明

B が連結でないと仮定する。(背理法)

いま、ある開集合 V、W が存在して、B⊂V∪W、B∩V∩W=φ、B∩V≠φ、B∩W≠φ となる。

いま、A は B の部分集合である。

よって、A⊂V∪W、A∩V∩W=φ である。

また、A∩V=φ または A∩W=φ である。(※ A は連結)

A∩V=φ の場合について考える。

いま、A⊂V であり、V は閉集合である。

よって、⊂V である。

よって、∩V=φ である。

一方、B∩V≠φ と B⊂ より、∩V≠φ である。

同様に、A∩W=φ の場合も矛盾する。

よって、B は連結である。

P4 ( 中間値の定理〜位相空間ver )

(X、) を連結な位相空間とする。

f:X→ を連続写像とする。

a、b∈X とおく。

α=f(a)、β=f(b) とおく。

α<β であるとする。

このとき、任意の α<γ<β に対し、ある点 c∈X が存在して f(c)=γ となる。

証明

ある α<γ<β に対し、γ=f(c) を満たす c∈X が存在しないと仮定する。(背理法)

いま、V=f−1(−∞、γ)、W=f−1(γ、∞) は空ではない開集合である。

また、V∩W=φ、V∪W=X である。

つまり、X は連結ではない。

これは矛盾である。

P5

(X、) を位相空間とする。

(Aλλ∈J を X の部分集合族とする。

λ∈Jλ≠φ であるとする。

任意の λ∈J に対し、Aλ は連結でないとする。

このとき、∪λ∈Jλ は連結である。

証明

p∈∩λ∈Jλ とおく。

A=∪λ∈Jλ は連結でないと仮定する。(背理法)

いま、ある開集合 V、W が存在して、A⊂V∪W、A∩V∩W=φ、A∩V≠φ、A∩W≠φ である。(★1)

また、Aλ⊂A である。

よって、Aλ⊂V∪W、Aλ∩V∩W=φ である。

また、Aλ∩V=φ または Aλ∩W=φ である。(※ Aλ は連結ではない)(★2)

任意の λ∈J に対して Aλ∩V=φ である場合、A∩V≠φ に矛盾する。

任意の λ∈J に対して Aλ∩W=φ である場合、A∩W≠φ に矛盾する。

よって、ある λ、μ∈J が存在して、Aλ∩V≠φ、Aμ∩W≠φ となる。

よって、(★2)より、ある λ、μ∈J が存在して、Aλ∩V=φ、Aμ∩W=φ となる。

いま、p∈Aλ∩Aμ である。

よって、p は V∪W に属さない。

これは(★1)に矛盾する。

よって、A は連結である。

定義 ( 連結成分〜その1 )

(X、) を位相空間とする。

a∈X とおく。

a を含む連結成分全体の和集合を C(a) と表す。

いま、C(a) は連結である。(※P5)

また、明らかに、C(a) は a を含む最大の連結集合である。

この C(a) を 『 a の連結成分 』 という。

定義 ( 連結成分〜その2 )

X を位相空間とする。

点 x、y∈X に対し、x と y の両方を含む X の連結集合が存在するとき、x〜y と表す。

このとき、〜は同値関係である。(★)

同値関係 〜 による同値類を 『 X の連結成分 』 という。

定義(連結成分〜その1)と定義(〜その2)は同値である。

このことはすぐ後の定理で示される。

(★)の証明

x∈X に対し、{ x } は x を含む連結集合である。

よって、x〜x である。(★1)

x〜y ⇒ y〜x は明らかである。(★2)

x〜y かつ y〜z であるとする。

いま、ある連結集合 V、W が存在して、{ x、y }⊂V、{ y、z }⊂W となる。

また、{ x、z }⊂V∪W である。

また、V∪W は連結である。(※P5)

よって、x〜z である。

以上により、x〜y かつ y〜z ⇒ x〜z である。(★3)

(★1)〜(★3)より、〜 は同値関係である。

P6

連結成分は閉集合である。

証明

C(a) は a を含む最大の連結集合である。

また、C(a) は a を含む連結集合である。(※P3の補足)

よって、C(a)=C(a) である。

つまり、C(a) は閉集合である。

P7

X を位相空間とする。

このとき、{ C(x)|x∈X } は X の分割である。

補足

つまり、定義(連結成分〜その1)と定義(〜その2)は同値である。

証明

x、y∈X とおく。

C(x)∩C(y)≠φ であるとする。

p∈C(x)∩C(y) とおく。

いま、C(x)⊂C(p) である。

また、C(p)⊂C(x) である。

よって、C(x)=C(p) である。

同様に、C(y)=C(p) である。

よって、C(x)=C(y) である。

以上により、C(x)∩C(y)≠φ ⇒ C(x)=C(y) である。

つまり、{ C(x)|x∈X } は X を分割する。

定義 ( 弧状連結 )

(X、) を位相空間とする。

任意の点 p、q∈X に対し、ある連続写像 Γ:[0、1]→X が存在して、Γ(0)=p かつ Γ(1)=q となるとする。

このとき、「 X は弧状連結である 」 という。

Γ(0) を 『 始点 』 といい、Γ(1) を 『 終点 』 という。

P8 ( 弧状連結性は連続写像の像に遺伝する )

X と Y を位相空間とする。

f:X→Y を連続写像とする。

A を X の弧状連結集合とする。

このとき、f(A) は Y において弧状連結である。

証明

a、b∈f(A) とおく。

いま、ある p、q∈A が存在して、a=f(p)、b=f(q) と表せる。

また、ある連続写像 Γ:[0、1]→A が存在して、Γ(0)=p、Γ(1)=q となる。

いま、f*Γ:[0、1]→f(A) は連続写像であり、a=f*Γ(0)、b=f*Γ(1) である。

よって、f(A) も弧状連結である。

P9 ( 弧状連結 ⇒ 連結 )

弧状連結な位相空間は連結である。

証明

X を弧状連結な位相空間とする。

p、x∈X とおく。

いま、ある連続写像 Γpx:[0、1]→X が存在して、Γpx(0)=p、Γpx(1)=x となる。

また、明らかに、[0、1] は において連結集合である。

よって、Γpx[0、1] は X において連結である。(※P2)

よって、X=∪x∈XΓpx[0、1] は連結である。(※P5)

定義 ( 線分 )

a、b∈ に対し、[a、b]={ (1−t)a+tb|0≦t≦1 } と定義する。

このとき、[a、b] を 『 a と b を結ぶ線分 』 という。

定義 ( 凸集合 )

A を の部分集合とする。

任意の a、b∈A に対し、[a、b]⊂A であるとする。

このとき、A を 『 凸集合 』 という。

P10

の凸集合は弧状連結である。

証明

A を の凸集合とする。

a、b∈A とおく。

Γ:[0、1]→A を Γ(t)=(1−t)a+tb で定める。(★)

いま、Γ は点 a と点 b 連続写像である。

よって、A は弧状連結である。

(★)について補足

このように定めることができるのは A が凸集合だからである。

実際、A が凸集合であるから Γ[0、1]⊂A が保証される。

P11

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は凸集合である。

(2) A は弧状連結である。

(3) A は連結である。

補足

既に示したように、 において(1)⇒(2)⇒(3)である。(※P10、P9)

しかし、逆が成り立つとは限らない。

証明

(1)⇒(2)⇒(3)は既に示した。(※P10、P9)

そこで、(3)⇒(1)を示せばよい。

A は凸集合でないとする。(対偶)

いま、ある点 a、b∈A ( a<b ) が存在して、[a、b] は A に含まれない。

c∈[a、b]−A とおく。

いま、a<c<b である。

V=(−∞、c)、W=(c、+∞) とおく。

いま、V と W は の開集合である。

また、A⊂V∪W、A∩V∩W=φ、A∩V≠φ、A∩W≠φである。

つまり、A は連結ではない。

定義 ( 有限直積空間 )

={ λ|λ∈J } を X の位相とする。

={ μ|μ∈K } を Y の位相とする。

次のように定義する。



明らかに、 は X×Y の位相である。

そこで、 を 『 の直積位相 』 という。

また、(X×Y、) を 『 (X、) と (Y、) の直積空間 』 という。

P12 ( 連結性は直積空間に遺伝する )

(X、)、(Y、) を連結な位相空間とする。

このとき、X×Y も連結である。

証明

a=(a、a)、b=(b、b)∈X×Y とおく。

c=(b、a) とおく。

f:X→X×Y を f(x)=(x、a) で定める。

いま、明らかに、f は連続写像である。

よって、f(X) は連結である。(※P2)

よって、a、c∈f(X)⊂C(a) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g:Y→X×Y を g(y)=g(b、y) で定める。

いま、明らかに、g は連続写像である。

よって、g(Y) は連結である。(※P2)

よって、b、c∈g(Y)⊂C(b) である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よって、(★1)、(★2)より、c∈C(a)∩C(b) である。

よって、C(a)=C(b) である。(※定義:連結成分)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、任意の点 p∈X×Y に対する連結成分 C(p) は一致する。

よって、X×Y=∪p∈X×YC(p)=C(p) は連結である。

P13 ( 弧状連結は直積空間に遺伝する )

(X、)、(Y、) を弧状連結な位相空間とする。

このとき、X×Y も弧状連結である。

証明

a=(a、a)、b=(b、b)∈X×Y とおく。

いま、ある連続写像 Γ:[0、1]→X が存在して、Γ(0)=a、Γ(1)=b となる。

また、ある連続写像 Γ:[0、1]→Y が存在して、Γ(0)=a、Γ(1)=b となる。

Γ×Γ:[0、1]→X×Y を (Γ×Γ)(t)=(Γ(t)、Γ(t)) で定める。

明らかに、Γ×Γ は連続写像である。

また、Γ×Γ(0)=a、Γ×Γ(1)=b である。

よって、X×Y は弧状連結である。