「距離空間上の連続写像」と「位相空間上の連続写像」は同値

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定義 ( 自然な位相 )

(X、d)を距離空間とする。

(X、d)の開集合全体は位相空間の公理を満たす。(※B8)

そこで、距離空間の開集合全体を位相として採用すれば、X は位相空間になる。

このように、距離空間(X、d)に対して自然に定まる位相を 『 自然な位相 』 という。

既に第2章で述べたように、 に対して自然な距離が入る。

むろん、この距離に対して自然な位相が入る。

つまり、 には自然に位相が入る。

参考 ( 第1章と第2章の比較 )

距離空間に自然な位相を導入しよう。

このとき、位相空間論の定理はすべて距離空間論にも適用できる。

例えば、

(1) A5 は B14 の一般化である。(※B8)

(2) A10 は B15 の一般化である。(※B8)

(3) A20 は B22 の一般化である。(※B8)

つまり、第1章を既知とすれば、B14、B15、B22 の証明は省略(または一部省略)できる。

参考

距離空間において 『 距離空間としての連続写像 』 と 『 位相空間としての連続写像 』 は同値である。

補足

既に、これが成り立つことは上で述べた。

しかし、ここでは直接的にこれを確認しよう。

証明

(X、d)、(Y、d) を距離空間とする。

むろん、X と Y には自然な位相が入る。

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f:X→Y を距離空間としての連続写像とする。

x∈X とおく。

ε>0 とする。

W を f(x) の開近傍とする。

いま、ある ε>0 が存在して、S(f(x)、ε)⊂W となる。

また、ある δ>0 が存在して、f(S(x、δ))⊂S(f(x、ε)) となる。

つまり、f(x)の開近傍 W に対し、x の開近傍 V=S(x、δ) が存在して、f(V)⊂W となる。

つまり、f は点 x において位相空間として連続である。

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f:X→Y を位相空間としての連続写像とする。

x∈X とおく。

ε>0 とおく。

いま、S(f(x)、ε) は f(x) の開近傍である。

よって、x の開近傍 U が存在して、f(U)⊂S(f(x)、ε) となる。

また、ある δ>0 が存在して、S(x、δ)⊂U となる。

つまり、任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、f(S(x、δ))⊂S(f(x)、ε) となる。

つまり、f は点 x において距離空間として連続である。