連続写像(開集合の逆像は開集合)

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定義 ( 連続写像 )

X、Y を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

(x)を x∈X の近傍系とする。

(y)を y∈Y の近傍系とする。

x∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「 f は 点 x で連続である 」 という。

とくに、f が任意の点 x∈X で連続であるとき、f を 『 X から Y への連続写像 』 という。

これは微分積分学でよく知られている関数の連続性を一般化したものである。

実際、微分積分学で知られているεδ論法と同様の形をしている。

A20 ( 連続性に対する同値条件 )

(X、)、(Y、)を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は連続写像である。

(2) Y の任意の開集合 O に対し、f−1(O)は X の開集合になる。

(3) Y の任意の閉集合 F に対し、f−1(F)は X の閉集合になる。

(4) Y の任意の部分集合 B に対し、次が成り立つ。



(5) X の任意の部分集合 A に対し、次が成り立つ。



(6) 任意の点 x∈X に対し、次が成り立つ。

補足

とくに、(1)⇔(2)が重要である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

O∈ とおく。

x∈f−1(O)とおく。

いま、f(x)∈O である。(※S1)

よって、O は f(x)の近傍である。(※A1)

f は点 x で連続であるから、



いま、U⊂f−1(O)である。(※S1)

U∈(x)であるから、f−1(O)∈(x)である。(※A2)

よって、



よって、



よって、f−1(O)∈ である。(※開集合の公理)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈X とおく。

U∈(f(x))とおく。

いま、



いま、x∈ f−1(O)である。(※S1)

仮定より、f−1(O)は開集合である。

よって、f−1(O)∈(x)である。(※A1)

また、f(f−1(O))⊂O⊂U である。(※S3)

以上により、



( 今回の場合は、V として f−1(O)を採用できることが示されたのである )

よって、f は x で連続である。

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

F を Y の閉集合とする。

いま、F は開集合である。

仮定より、f−1(F)=(f−1(F)) は X の開集合である。

よって、f−1(F) は X の閉集合である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

O∈ とおく。

いま、O は閉集合である。

仮定より、f−1(O)=(f−1(O)) は X の閉集合である。

よって、f−1(O)∈ である。

(3)⇔(4)の証明

(3)を仮定する。

B を Y の部分集合とする。

明らかに、B⊂ である。

よって、f−1(B)⊂ f−1)である。(※S2)

は閉集合であるから、仮定より、f−1)は X の閉集合である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(4)を仮定する。

F を Y の閉集合とする。

いま、



一方、明らかに、



以上により、



よって、f−1(F) は閉集合である。(※A9)

(3)⇔(5)の証明

(3)を仮定する。

A を X の部分集合とする。

いま、f(A) は Y の閉集合である。

よって、仮定より、f−1f(A))は X の閉集合である。

一方、A⊂f−1(f(A))である。(※S3)

また、明らかに、f(A)⊂f(A) である。

よって、A⊂f−1f(A))である。

よって、



−1f(A)) は閉集合であるから、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(5)を仮定する。

F を Y の閉集合とする。

いま、f−1(F)は X の集合である。

よって、仮定より、次が成り立つ。(※S3)



よって、



一方、明らかに、



よって、



よって、f−1(F)は閉集合である。

(2)⇔(6)の証明

(2)を仮定する。

x∈X とおく。

V∈(f(x))とおく。

いま、



また、x∈ f−1(O)⊂f−1(V)である。

また、仮定より、f−1(O)∈ である。

よって、f−1(V)∈(x)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(6)を仮定する。

O∈ とおく。

x∈f−1(O)とおく。

いま、f(x)∈O である。

よって、O∈(f(x))である。

よって、仮定より、f−1(O)∈(x)である。

よって、



よって、



よって、f−1(O)∈ である。(※開集合の公理)

A21 ( 連続写像の合成写像は連続 )

(X、)、(Y、)、(Z、)を位相空間とする。

f:X→Y と g:Y→Z を写像とする。

f と g が連続であるとき、g*f:X→Z も連続である。

証明

O∈ とおく。

g は連続であるから、g−1(O)∈ である。(※A20)

f は連続であるから、f−1(g−1(O))∈ である。(※A20)

よって、(g*f)−1(O)∈ である。(※S5)

よって、g*f は連続である。(※A20)