命題、命題の同値性

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定義 ( 命題 )

真偽が定まる主張を 『 命題 』 という。

例えば、次の主張 P、Q は命題である。

P : 2+3=5 である。

Q : 7 は偶数である。

今回の例であれば、P は真であり、Q は偽である。

一方、次のような P、Q は命題ではない。

P : x+3=5

Q : x は偶数である。

なぜなら、このらの主張は x が定まっていなければ真偽の判定ができないからである。

このような主張を 『 述語 』 という。

述語については後のページで扱う。

定義 ( 真理値 )

命題 P が真か偽かという情報を 『 命題 P の真理値 』 という。

真を意味する真理値を T と表す。

偽を意味する真理値を F と表す。

定義(∧、∨、→、¬)

P、Q を命題とする。

次のような記号を定義する。

(*) P∧Q 、P∨Q 、P→Q 、¬P

各記号は次のように読む。

P∧Q : 「 P かつ Q 」

P∨Q : 「 P または Q 」

P→Q : 「 P ならば Q 」

¬P : 「 P の否定 」

定義 ( 真理値表 )

P∧Q に次の(1)〜(4)のような意味を付ける。

(1) P と Q が真ならば、P∧Q は真である。

(2) P が真で Q が偽ならば、P∧Q は偽である。

(3) P が偽で Q が真ならば、P∧Q は偽である。

(4) P と Q が偽ならば、P∧Q は偽である。

これらを表にまとめて次のように表す。



この表を 『 真理値表 』 という。

上では真理値表の定義を述べるために P∧Q に意味を付けた。

さらに、他の記号 P∨Q、P→Q、¬P についてまとめると、次のようになる。

Z1 ( 真理値割り当て )

各記号を次のように解釈する。

この規則を用いることにより、機械的に新しい命題の真偽を判定することができる。

ところで、『 P→Q 』 の表をよく見ていただきたい。

この中に書かれている T、F の割り当てに納得できるだろうか?

例えば、表の中では 「 P が偽で、Q が偽であるとき、P→Q は真である 」 と書かれている。

このことに違和感を感じる人は多い。そこで、次のような例を考えてみよう。

ある学生が 「 明日晴れたら、会いに行く 」 と友人に約束したとする。

(1) 次の日は晴れた。会いに行った。学生は嘘つきではない。
(2) 次の日は晴れた。会いに行かなかった。学生は嘘つきである。
(3) 次の日は雨だった。会いに行った。学生は嘘つきではない。
(4) 次の日は雨だった。会いに行かなかった。学生は嘘つきではない。

このように考えれば違和感も減るであろう。

ただし、→ を上のように解釈することが唯一絶対の真理である、ということではない。

上のように定めると議論を展開するときに便利なので、そのように定めているだけである。

『 → 』 は数学のために用意された新しい言語であると思えばよい。

つまり、『 → 』 は 「 ならば 」 と読むけれども、日常で使われる 「 ならば 」 とは区別するのである。

定義 ( 恒真命題 )

命題 P、・・・、P に対し、∧、∨、→、¬ を用いて命題 Q を構成する。

各命題 P、・・・、P の真偽に関わらず、Q が真であるとする。

このとき、Q を 『 恒真命題(トートロジ)』 という。

例えば、『 P∨(¬P) 』、『 P→P 』、『 (P∧(P→Q))→Q 』 はトートロジである。

実際、Z1より、



各表の右端が全て T になっていることが分かるであろう。

定義 ( 命題の同値性 )

¬(P∧Q) と ¬P∨¬Q について真理値表を作成すると、



P と Q にどのように真理値を割り当てても、¬(P∧Q) と ¬P∨¬Q の真理値は一致している。

このようなとき、¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q と表す。

また、「 ¬(P∧Q) と ¬P∨¬Q は同値である 」 という。

後に、『 述語の同値性 』 という概念も登場する。

『 命題の同値性 』 と 『 述語の同値性 』 を混同しないように注意。

Z2 ( 命題の演算 )

命題 P,Q,R について、次が成り立つ。



(1)、(2)を交換則、(3)、(4)を結合則、(5)、(6)を分配則という。

(8)、(9)を ド・モルガンの法則 という。

証明

Z1を用いれば簡単に証明できるので、(6)についてのみ証明する。

Z1より、真理値表を作成すると、



たしかに、P∧(Q∨R) と (P∧Q)∨(P∧R) の真理値が一致している。

Z3

P、Q を命題とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

Z1より、真理値表を作成すると、



たしかに、P→Q と ¬P∨Q の真理値が一致している。

参考

上記のような意味で、P→Q を ¬P∨Q の省略形と見なすことができる。

Z4 ( 対偶 )

P、Q を命題とする。

このとき、次が成り立つ。



命題 ¬Q→¬P を 『 P→Qの対偶 』 という。

証明

( 真理値表を作成してもよいが、前の定理を用いれば次のように簡潔に証明できる )

Z3、Z2より、