論理記号(読み方)

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論理記号

論理記号は数学を簡略化して表記するための記号である。

例えば、『 ∀ 』 や 『 ∃ 』 などがある。

このページでは論理記号について簡単に紹介する。

論理記号の読み方〜その1

次の論理記号に注目する。



『 ∃ 』 は 「 存在する 」 という意味の論理記号である。

』 は自然数全体を表す記号である。

『 n∈ 』 は 「 n が に属する 」 という意味である。

『 s.t.〜 』 は 「 〜のような 」 という意味である。

つまり、(1)を日本語に変換すると、

(*1) 「 ある自然数 n が存在して、n>3 となるようにできる 」

これは少し不自然な日本語に聞こえるかもしれない。

自然な日本語に変換すると、

(*2) 「 n>3 を満たす自然数 n が存在する 」

しかし、このサイトでは(*1)の語順に合わせる。

なぜなら、(*1)は英語の語順に合わせたもので、論理記号を順番通りに解釈できて便利だからである。

ただし、どちらの読み方もよく用いられる。

どちらの読み方を採用するかは個人の自由である。

論理記号の読み方〜その2

次の論理記号に注目する。



』 は実数全体を表す記号である。

つまり、(2)を日本語に変換すると、

「 ある実数 x が存在して、3<x<5 となるようにできる 」

論理記号の読み方〜その3

次の論理記号に注目する。



『 ∀ 』 は 「 任意の 」 という意味の論理記号である。

『 〜,』 は 「 〜に対し、」 という意味である。

つまり、(3)を日本語に変換すると、

「 任意の実数 x に対し、ある自然数 n が存在して、n>x となるようにできる 」

論理記号の読み方〜その4

次の論理記号に注目する。



これを日本語に変換すると、

「 任意の実数 x、y に対し、ある自然数 n が存在して、n>x+y となるようにできる 」

論理記号の読み方〜その5

次の論理記号に注目する。



これを日本語に変換すると、

「 任意の自然数 k に対し、k>−1 が成り立つ 」

参考

上の説明では繰り返し 「 任意の 」 という言葉が登場した。

「 任意の 」 という言葉はあまり日常で登場しないので、抵抗を感じる人がいるかもしれない。

これは 「 すべての 」 という言葉とほとんど同じ意味である。

英語にすると、

任意の : for any

すべての : for all

「 任意の 」 という言葉は全体を指しているが、個々の対象に注目しているニュアンスがある。

「 すべての 」 という言葉は全体を指して、全体を見渡しているニュアンスがある。

どちらの言葉を用いてもよいが、「 任意の 」 が用いられることが多い。

参考

∀ や ∃ は量化記号と呼ばれるもので、正式な数学の記号である。

∀ を 『 全称量化子 』 という。

∃ を 『 存在量化子 』 という。

s.t.は英語の 「 such that 」 を略したものである。

ただし、s.t.は一般的な記号ではない。

s.t.の代わりに 『 : 』 を用いている書物もある。

∀ は 英語 Any の頭文字を引っくり返したことが由来である。

∃ は英語の Exist の頭文字を引っくり返したことが由来である。

参考

∃!という記号が用いられることもある。

∃!は 「 一意に存在する 」 という意味の論理記号である。

参考

論理記号を使用する本もあれば、使用しない本もある。

ただし、論理記号は 「 εδ論法 」 や 「 一様収束性 」 などを記述するときに便利である。

一様収束性を言葉で記述すると文章が長くなってしまう。

実際、一様収束性を日本語で表すと次のようになる。

「 任意の ε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、I の任意の点 x に対し、n≧N ならば|f(x)−f(x)|<ε 」

これは意味の区切りが視えにくい。

どの文章がどこに掛かっているのか分からなくなってしまう。

一方、論理記号で記述すると、



このように、意味の区切りを明示できる。

文字数が少なくなって全体がスッキリして視えることは1つの利点であろう。

ただし、論理記号を使用するか否かは個人の自由である。