射影、選択公理(AC)

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参考

直積については既に第1章でも扱ったが、ここではさらに一般化されたものを考える。

参考 ( 添字集合をもつ集合族 )

(Aλλ∈J を、J を添字集合とする族とする。

任意の Aλは1つの集合であるとする。

このとき、(Aλλ∈J を 『 J を添字集合とする集合族 』 という。

(Aλλ∈J については既に第1章で 『 対応規則 』 として説明している。

今回はそれを写像の立場から説明したのである。

とくに、(An∈ を 『 集合列 』 と呼ぶこともある。

定義 ( 直積〜その3 )

(Aλλ∈J を集合族とする。

次のように定義する。



これを 『(Aλλ∈J の直積 』 という。( つまり、直積は写像の集合である )

x(λ) を xλ と表して、『 x のλ成分 ( x のλ座標 )』 という。

次の写像 pμ を 『 μ成分への射影 』 という。



( つまり、射影 pμ は 『 写像 x 』 に 『 x のμ成分 』 を対応させた写像である )

例えば、J={1、2、3}と集合族 (Aλλ∈{1、2、3} を考えてみよう。

このとき、J から A∪A∪A への写像にはどのようなものがあるだろうか?

例えば、次のような写像が考えられる。



他にも次のような写像が考えられる。



他にも次のような写像が考えられる。



しかし、3番目の写像は集合族 (Aλλ∈{1、2、3} の直積に属さない。

なぜなら、条件 x(2)∈A を満たしていないからである。

さて、第1章で定義した直積について思い出してみよう。

順序対(x、x)は、x と x の順番を考慮した集合である。

よって、(x、x)を 『 1 に x を対応させ、2 に x を対応させた写像 』 と見なすことができる。

つまり、次の(1)と(2)は同一視できる。



つまり、定義(直積〜その3)は、定義(〜その1)や定義(〜その2)の一般化である。

いま、上の説明では 『 同一視 』 という用語を用いた。

これは 「 同じものと見なして問題がない 」 という程度の意味で捉えてよい。

参考

例えば、集合 X、X について、射影 p、p を考えると、



=X とすると、これらの射影は平面上の座標を x軸 や y軸 に写すことと同じである。



これが影を落とす様子に似ているので 『 射影 』 と呼ばれるのであろう。

参考

集合系と集合族の違いが現れる場面を考えてみよう。

A、B、C を集合とする。

次のように定める。

(*) J={1、2、3、4}、M=A、M=B、M=C、M=C

このとき、『(Mλλ∈J の直積 』 は A×B×C×C である。

では、集合族(Mλλ∈J の代わりに、集合系 { Mλ|λ∈J } で直積を定義できるだろうか?

ここで、={ Mλ|λ∈J }とおく。

いま、={A、B、C、C}={A、B、C}である。

すると、困ったことになる。

もし、『 の直積 』 というものを考えた場合、これはA×B×C×C を意味するのだろうか?

それとも、A×B×C を意味するのだろうか?

区別が付かなくなってしまう。

なので、直積を定義するときには集合族を用いるのである。

C3 ( 選択公理 )

(Aλλ∈J を集合族とする。

次の関係を 『 選択公理 』 という。



選択公理を 『 AC 』 ということも多い。

これは英語 axiom of choice の頭文字を取ったものである。

これは証明できないので、公理として採用する。

参考 ( 選択公理はなぜ必要か )

選択公理を言葉で表すと、次のようになる。

集合族(Aλλ∈J において、任意の Aλが空でなければ、各 Aλから一斉に元を選択できる。

( 選択ができれば、それは写像が存在することを意味し、(Aλλ∈J の直積が空でないことを意味する )

一見すると、選択公理は明らかに真であるかのように見えるかもしれない。

たしかに、J が有限集合である場合、選択公理は明らかに真である。

しかし、J が無限集合である場合、選択公理は明らかに真であるとは言い切れない。

以下で詳しく考えてみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

あるλ∈J に注目すれば、仮定より Aλは空ではないのだから、元 aλ∈Aλを選択できる。

しかし、この作業を1つずつ繰り返していくだけでは、無限に存在する各集合から元を選択することはできない。

ここで、

「 作業を無限に繰り返せば可能なのでは?」

・・・と思う人がいるかもしれない。

しかし、作業を無限に繰り返すということは、つまり、終わらないことを意味する。

これでは各集合から元を選択したことにはならない。

では、無限に存在する各集合から元を選択するにはどうすればよいか?

その答えは 「 全ての集合から一斉に元 aλ∈Aλを選択する 」 ことである。

例えば、ここに無限に箱 Aλがあるとする。

各箱には赤玉と青玉が入っているとする。

このとき、「 各箱から赤玉を選択する 」 ということにすれば、各箱から一斉に元を選択したことになる。

つまり、任意のλ∈Jに対して、赤玉を対応させる写像が存在する。

このように、何らかの規則が与えられる場合には、集合が無限に存在しても選択公理は真である。

ところが。

各箱の中身が2つの赤玉である場合、各箱から一斉に元を選択することは難しい。

このとき、1つ1つの赤玉の区別できるとしてよい。

たとえ全く同じ赤玉が入っていたとしても位置は異なるのであるから、両者は区別できる。

つまり、1つ1つの箱を見ていけば、赤玉を選択することはできる。

しかし、1つ1つ選択していくのではダメだということは既に上で述べた。

だから一斉に選択しなければならないのだが・・・どうすればよいのだろう?

例えば、「重い方の玉」ということにしても、全く同じ重さの玉があるかもしれない。

このように、各箱から一斉に元を選択することができない場合、選択公理は真であるとは言い切れない。

ここで、

「 いや、しかし・・・写像はあるはずだろう。各箱は空ではないのだから 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

この辺りは論理と直観の非常に微妙な位置あるため、混乱が生じやすい。

直観的にはあると思えるが、論理的に存在の証明ができないと考えればよいかもしれない。

だから、これを公理として採用するのである。

繰り返すが、箱が有限個ならば選択公理は明らかに真である。

例えば、先の赤球の例でいえば、1つ1つ箱を調べればよい。

「重い方」「左の方」「傷が付いている方」という具合に1つ1つ選択していけばよい。

箱が無限に存在するから困ったことになるのである。

選択公理はしばしば見落とされがちで、無意識のうちに使用されることもある。

数学に手慣れた人でも見落とすことがある。

以上で述べたように、選択公理の必要性は次の2つから生じる。

(1) 集合が無限個あること。

(2) 集合の元を指定するための具体的な手続きが与えられていないこと。

しかし、

「 無限個あると取り尽くせないから選択公理が必要 」

・・・という意味だけで捉えて勘違いしている人は多いかもしれない。

C4

f:X→Y を写像とする。

(1) f が単射であるときのみ、ある写像 g:Y→X が存在して、g*f=I となるようにできる。

(2) f が全射であるときのみ、ある写像 g:Y→X が存在して、f*g=I となるようにできる。

( ただし、(1)において X≠φとする )

補足

これは、第2章で既にB4として紹介した。

そのときは(2)が証明できなかったが、今回は選択公理を用いてこれを証明できる。

(2)の証明

f:X→Y が全射であるとする。

いま、任意の y∈Y に対し、逆像 f−1({y}) は空ではない。

そこで、任意の y に対して f−1({y})=A とおく。

いま、(Ay∈Y は空でない集合から構成される集合族である。

よって、ある写像 g:Y→X が存在して、任意の y∈Y に対して g(y)∈A となる。(※選択公理)

いま、f*g=I である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、f*g=I と仮定する。

は恒等写像であるから全単射である。

よって、f*g は全射である。

よって、f は全射である。(※B3)

よって、f*g=I となるのは、f が全射であるときのみである。

C5

X、Y を集合とする。

次は同値である。

(1) 単射 f:X→Y が存在する。

(2) 全射 g:Y→X が存在する。

( ただし、X≠φとする )

証明

(1)を仮定する。

いま、ある写像 g:Y→X が存在して、g*f=I となるようにできる。(※C4)

g*f は全射であるから、g は全射である。(※B3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、ある写像 f:X→Y が存在して、g*f=I となるようにできる。(※C4)

g*f は単射であるから、f は単射である。(※B3)

C6 ( 射影は全射である )

(Aλλ∈J を集合族とする。

任意のλ∈J に対し、Aλ≠φであるとする。

このとき、任意のμ∈J に対し、射影 pμ は全射である。

証明

μ∈J とおく。

a∈Aμ とおく。

各Aλ から元 bλ を1つ取り出して固定する。(※選択公理)

次のように定める。



いま、



しかも、pμ(x)=a である。

以上により、



よって、pμ は全射である。

参考

(Xn∈ を集合列とする。

を X の部分集合とする。

このとき、明らかに、次が成り立つ。(※定義:射影、逆像)



順番を考慮して、次のように表しても意味は同じである。