連続写像(距離空間ver)

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定義 ( 連続写像 )

(X、d)、(Y、d)を距離空間とする。

f:X→Y を写像とする。

a∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「 写像 f は 点 a で連続である 」 という。

任意の点 x∈X で f が連続であるとき、f を 『 X から Y への連続写像 』 という。

これは微分積分学でよく知られている関数の連続性の一般化である。

参考

微分積分学では、よく知られているように、関数の連続性を次のように定義する。

(*) 任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<ε

1次元のユークリッド空間 で、d(x、y)=|y−x|と表すことにすれば、

(*) 任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、d(x、a)<δ⇒d(f(x)、f(a))<ε

これは、上の定義に書かれている式と同じである。

B21 ( 連続性に対する同値条件〜その1 )

(X、d)、(Y、d)を距離空間とする。

f:X→Y を写像とする。

a∈X とおく。

次は同値である。

(1) f は点 a で連続写像である。

(2) 任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、f(S(a、δ))⊂S(f(a)、ε)

(3) (xn∈ が a に収束するならば、(f(x))n∈ は f(a)に収束する。

補足

(3)は写像の連続性を点列の収束で表現できることを意味する。

(f(x))n∈ は Y の点列である。

(1)⇔(2)の証明

B3 より、

(1)⇔(3)の証明

(1)を仮定する。

ε>0とおく。

このとき、



いま、x→a であるから、



以上により、



これは f(x)→f(a)を意味している。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

f が a で連続でないと仮定する。(背理法)

つまり、



δは任意であるから、次のようにおいてもよい。



いま、



つまり、



これは仮定(3)と矛盾する。

参考

なぜ、B21(1)〜(3)が写像の連続性を表していることになるのだろうか?

そこで、とくに(2)に注目してみよう。

点 a で連続な写像を図示すると、



一方、写像が点 a で不連続な場合を図示すると、



不連続の場合、δをどのようにとっても f(S(a、δ))⊂S(f(a)、ε)となるようにできない。

B22 ( 連続性に対する同値条件〜その2 )

(X,d)、(Y,d)を距離空間とする。

f:X→Y を写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は連続写像である。

(2) 任意の開集合 O⊂Y に対し、f−1(O)は X の開集合になる。

(3) 任意の閉集合 F⊂Y に対し、f−1(F)は X の閉集合になる。

(4) 任意の部分集合 B⊂Y に対し、次が成り立つ。



(5) 任意の部分集合 A⊂X に対し、次が成り立つ。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

O を Y の開集合とする。

x∈ f−1(O)とおく。

このとき、f(x)∈O である。(※S1)

よって、あるε>0 が存在して、S(f(x)、ε)⊂O となる。(※B7)

B21より、



よって、f(S(x、δ))⊂O である。

よって、S(x、δ)⊂ f−1(O)である。(※S1)

よって、f−1(O) は開集合である。(※B7)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈X とおく。

ε>0 とおく。

いま、S(f(x)、ε)は Y の開集合である。(※B13)

よって、f−1(S(f(x)、ε))は X の開集合である。

よって、あるδが存在して、S(x、δ)⊂ f−1(S(f(x)、ε))となる。

よって、f(S(x、δ))⊂S(f(x)、ε)である。(※S1)

よって、f は点 x で連続である。(※B21)

(2)⇔(3)、(3)⇔(4)、(4)⇔(5)の証明

証明は1章のA20と同様である。

詳細を知りたい人は第1章を参照。

ただし、最も重要なのは(1)⇔(2)である。

なので、残りの証明は余裕のあるときに読むとよいであろう。

参考

f:X→Y は連続写像でないとする。

このとき、次が成り立つとは限らない。

A が Y の開集合 ⇒ f−1(A)は X の開集合

例えば、写像 f を次のように定める。



このとき、開区間(−1、1)の逆像は f−1(−1、1)= [0、1)である。

これは開区間ではない。

参考

次のような関数を 『 ディリクレの関数 』 という。



つまり、x が有理数のとき f(x)=1となり、x が無理数のとき f(x)=0 となる。

このとき、開区間(1/2、3/2)の逆像は有理数全体である。

しかし、有理数全体は開集合でない。

実際、点 q∈ に対し、ε近傍(q−ε、q+ε)をとると、必ずここには無理数が属する。

これは が開集合でないことを意味する。(※B7)

参考

f:X→Y を連続写像とする。

A を X の開集合とする。

このとき、f(A)が Y の開集合になるとは限らない。

例えば、次のように定める。



このとき、開区間(−1、1)の像は f(−1、1)=[0、1)となって開区間ではない。

定義 ( 写像の四則演算 )

X を集合とする。

f、g:X→ を実数値関数とする。

(1) 任意の点 x∈X に対して実数 f(x)+g(x)を対応させる写像を f+g と表す。

(2) 任意の点 x∈X に対して実数 f(x)−g(x)を対応させる写像を f−g と表す。

(3) 任意の点 x∈X に対して実数 f(x)・g(x)を対応させる写像を f ・g と表す。

(4) 任意の点 x∈X に対して実数 f(x)/g(x)を対応させる写像を f /g と表す。

(5) 任意の点 x∈X に対して実数 kf(x)(ただし k∈)を対応させる写像を k f と表す。

ただし、(4)において任意の点 x∈X に対して g(x)≠0 であるとする。

以上の内容をまとめると、

B23

(X、d)を距離空間とする。

f、g:X→ を実連続関数とする。

このとき、次も連続関数である。( ただし、k∈



A を X の部分集合とする。

任意の点 x∈A で g(x)≠0 ならば、次の関数は A 上で連続関数である。

証明

(xn∈ を X の点列とする。

x を(xn∈ の極限とする。

f、g は連続であるから、次が成り立つ。(※B21)



つまり、実数列(f(x))n∈、(g(x))n∈ の極限はそれぞれ f(x)、g(x)である。

よって、定理が成り立つ。(※微分積分:極限の四則演算)