写像(集合と写像の関係)

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B5

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※定義:逆像)

(2)の証明

明らかである。(※定義:像)

(3)の証明

(1)より明らかである。

参考

B5(2)の逆が成り立たないことに注意しよう。

つまり、f(x)∈f(A)であっても、x∈A であるとは限らない。

例えば、次のような写像を考えてみよう。



このとき、f(1)∈f(A)であるが、1∈A ではない。

参考

次の関係は、一般に成り立つとは限らない。

(*) f−1(B)⊂A ⇒ B⊂f(A)

反例は、B の点で、f の値域から外れたものがある場合である。

B6

f:X→Y を写像とする。

、A を X の部分集合とする。

、B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

⊂A とする。

y∈f(A)とおく。

定義(像)より、



いま、A⊂A であるから、x∈A である。

よって、f(x)∈f(A)である。(※B5)

よって、y∈f(A)である。

以上により、y∈f(A)⇒y∈f(A)である。

よって、f(A)⊂f(A)である。

(2)の証明

⊂B とする。

x∈f−1(B)とおく。

いま、f(x)∈B である。(※B5)

よって、f(x)∈Bである。

よって、x∈f−1(B)である。(※B5)

以上により、x∈f−1(B)⇒x∈f−1(B)である。

よって、f−1(B)⊂f−1(B)である

B7

f:X→Y を写像とする。

A、A、A を X の部分集合とする。

B、B、B を Y の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

y∈f(A∪A)とおく。

定義(像)より、



x∈A の場合、y=f(x)∈f(A)である。(※B5)

x∈A の場合、y=f(x)∈f(A)である。(※B5)

いずれにしても、y∈f(A)∪f(A)である。

以上により、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、A⊂A∪A、A⊂A∪A である。

よって、B6より、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)と(*2)より、

(2)の証明

明らかに、A∩A⊂A、A∩A⊂A である。

よって、B6より、



よって、

(3)の証明

次が成り立つ。(※B5)

(4)の証明

次が成り立つ。(※B5)

(5)の証明

x∈A とおく。

いま、f(x)∈f(A)である。(※B5)

よって、x∈f-1(f(A))である。(※B5)

以上により、



よって、

(6)の証明

y∈f(f−1(B))とおく。

いま、



また、f(x)∈B である。(※B5)

f(x)∈B で f(x)=y であるから、y∈B である。

以上により、



よって、

参考

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

B を Y の部分集合とする。

f が全単射ならば、次の(*1)、(*2)が成り立つ。

(*1) f(X−A)=Y−f(A)

(*2) f(A)=(f−1−1(A)

一方、次の関係は一般の写像についても成り立つ。

(*3) f−1(Y−B)=X−f−1(B)

以上の(*1)〜(*3)が成り立つことは写像の定義に注意すれば明らかである。

(*1)を f(A)=f(A) と表しても意味は同じである。

(*2)の(f−1−1 は、f の逆写像による A の逆像を意味する。

(*3)を f−1(B)=f−1(B) と表しても意味は同じである。

B8

次が成り立つ。

(1)の証明

次のようにおく。



定義(像)により、



また、



よって、B5 より、



よって、



以上により、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、



よって、B6 より、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)、(*2)より、

(2)の証明

明らかに、



よって、B6 より、



よって、

(3)の証明

次が成り立つ。(※B5)

(4)の証明

次が成り立つ。(※B5)

B9

A、B、C、D を集合とする。

f:A→B、g:B→C、h:C→D を写像とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

定義(合成写像)より、

補足

今回の結論により、定理の式は括弧を外して h*g*f と表してもよいことが分かる。

B10

f:X→Y、g:Y→Z を写像とする。

A⊂X、B⊂Y、C⊂Z とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※定義:合成写像)

(2)の証明

B5、定義(合成写像)より、