集合の基本3(集合系、集合族など)

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定義 ( 集合系 )

集合のみを元とする集合を 『 集合系 』 という。

例えば、{{1、2}、{2、3、4}、{1、3、5}}は集合系である。

定義 ( 和集合、共通部分〜その2 )

を集合系とする。

次のように定義する。



このとき、(1)を 『 の和集合 』 という。

また、(2)を 『 の共通部分 』 という。

補足

={G、G}とおいてみよう。

={1、2、3}、G={3、4}とおく。

このとき、上の定義より、



これは G∪G と同じである。

つまり、定義(和集合、共通部分〜その2)は、定義(〜その1)の一般化である。

定義 ( 集合族 )

J を集合とする。

任意のλ∈J に対し、ある集合 Aλが対応しているとする。

この対応規則を 『 J を添え字とする集合族 』 といい、(Aλλ∈J と表す。

とくに、J= の場合、これを 『 集合列 』 と呼ぶ。

定義 ( 和集合、共通部分〜その3 )

(Aλλ∈J を集合族とする。

次のように定義する。



このとき、(1)を 『(Aλλ∈J の和集合 』 という。

また、(2)を 『(Aλλ∈J の共通部分 』 という。

J= の場合、(Aλλ∈J の和集合、共通部分は次のように表せる。



J={1、・・・、n}のとき、(Aλλ∈J の和集合、共通部分は次のように表せる。



つまり、定義(和集合、共通部分〜その3)は、定義(〜その1)の一般化である。

A5

(Aλλ∈J を集合族とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

定義(和集合、共通部分〜その3)より、

(4)の証明

定義(和集合、共通部分〜その3)より、

参考 ( 集合系と集合族は何が違うのか?)

集合系は集合である。

集合族は対応規則である。

を集合系とする。

(Aλλ∈J を集合族とする。

むろん、集合系 は集合である。

一方、集合族 (Aλλ∈J は集合ではない。

定義でも述べたように、集合族 (Aλλ∈J は対応規則である。

ただし、(Aλλ∈J の各 Aλ を集めて、集合系 { Aλ|λ∈J } を考えることはできる。

参考 ( 集合系の和集合・共通部分と集合族の和集合・共通部分は一致する )

A、B、C を集合とする。

次のように定める。

(*1) ={A、B、C}

(*2) G=A、G=B、G=C、J={1、2、3}

このとき、次が成り立つ。

(*3) ∪G∈=A∪B∪C

(*4) ∪λ∈Jλ=G∪G∪G=A∪B∪C

つまり、∪G∈=∪λ∈Jλ である。

同様に、∩G∈=∩λ∈Jλ である。

つまり、『 集合系の和集合・共通部分 』 と 『 集合族の和集合・共通部分 』 は一致する。

よって、集合系と集合族の違いを神経質に意識する必要はない。