集合の基本4(巾集合、直積など)

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参考

このページでは 『 巾集合 』 を定義する。

『 巾 』 は 「 べき 」 と読む。

正式には 『 冪 』 と書く。

しかし、漢字が複雑なので、漢字の一部をとって 『 巾 』 と書くことも多い。

あるいは、ひらがなで 『 べき集合 』 と書く人もいる。

ちなみに、微分積分学では 『 巾級数 』 というものが登場する。

定義 ( 巾集合 )

X を集合とする。

X の部分集合全体を 『 X の巾集合 』 といい、2 と表す。

例えば、X={1、2、3} の巾集合は次のように表せる。

巾集合の元の数は 2 の巾乗になる。

例えば、上の例では集合 X の元は3個で、2 の元は 2=8個 である。

なので、X の巾集合を 2 と表すのである。

X の巾集合を P(X) と表す流儀もある。

しかし、確率論で確率測度を表すときにも P という記号が用いられる。

なので、このサイトでは 2 と表している。

参考

明らかに、A⊂X と A∈2 は同じ意味である。

定義 ( 直積〜その1 )

A、B を集合とする。

元 x∈A と、元 y∈B の組を(x、y)と表す。

x=x’かつ y=y’であるとき、(x、y)=(x’、y’)と定義する。

このとき、(x、y)を 『 x と y の順序対 』 という。

このような順序対全体を 『 A と B の直積 』 といい、A×B と表す。

つまり、

つまり、「 直積には順番が定義されている 」 ということである。

集合については {1、3}={3、1} が成り立つが、(1、3) と (3、1) は別の元と見なされる。

例えば、A={a 、b}、B={1、2、3} の直積は、



このように、(1、a) や (3、b) は属さない。

参考

次の(1)と(2)は同じ意味である。

参考

直積の概念は座標と同じである。

実際、座標 (1、2) と (2、1) は異なる座標として見なされる。

直積と同じように、座標にも順番が定義されているのである。

座標は実数の順序対であるから、直積を用いて座標を表すと、× となる。

× と表してもよい。

平面座標は を視覚的に表したものであるといえる。

定義 ( 直積〜その2 )

改めて直積の定義をここに書こう。



これを n 個の集合に拡張して次のように定義する。



これを次のように表すこともある。

とくに、n 個の によって構成される直積を と表す。

つまり、 は n 個の実数の順序対全体を意味する。

A6

A、B、C を集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

定義 ( 開区間、閉区間 )

a、b を実数とし、a<b とする。

このとき、次のように定義する。



各集合を上から順番に 『 開区間 』 『 閉区間 』 『 左半開区間 』 『 右半開区間 』 という。

また、次のように定義する。

つまり、(a、b) や [a、b] は の部分集合である。

開区間(a、b)は、実数の組を意味する(a、b)と同じ記号であるが、これは文脈から区別する。