集合演算

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A1 ( 集合の演算 )

集合 A、B、C について、次が成り立つ。



(1)、(2)を交換則、(3)、(4)を結合則、(5)、(6)を分配則という。

(8)、(9)を ド・モルガンの法則 という。

証明

明らかである。

補足

命題論理や述語論理で基礎づけることでもう少し詳細に証明を書くこともできる。

詳しく知りたい人は集合論の第5章を参照。

ただし、そこは少し神経質な世界なので、初学者が気にする必要はない。

集合論の教科書でも上記の関係は証明なしに使用することが多い。

A2

次が成り立つ。

証明

明らかである。

A3

次が成り立つ。



(1)、(2)は普通の分配則であるが、(3)、(4)には注意が必要である。

(1)の証明

A2、A1より、

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

A2、A1より、

(4)の証明

(3)と同様である。

(5)の証明

A2、A1より、

A4

任意の集合 A についてφ⊂A が成り立つ。

証明

これは規約として認める。

補足

規約は 『 ルール 』 という意味である。

例えば、高校数学でも、0!=1として規約していた。

それと同じことである。

そのように決めておくと便利なので、そのように規約しようというだけの話である。

補足

命題論理と述語論理で基礎づけることで証明を付けることもできる。

詳しく知りたい人は集合論の第5章を参照。

ただし、A4 を規約として認めれば実質的には何も問題はない。

なので、この辺りのことは集合論の教科書でも規約として認めることが多い。

参考 ( ヴェン図を描くことは証明ではない )

A3 の証明を 「 随分と回りくどいなぁ 」 と感じた人がいるかもしれない。

そして、「 そんなことをやらなくても、図を描けば簡単に分かるじゃないか 」 と考えるかもしれない。

実際、次のような図を描けば、A3 が正しいことは直観的に分かる。



このような図を 『 ヴェン図 』 という。

たしかに、ヴェン図は集合演算を予想する意味では役に立つ。

例えば、A1の関係が妥当であることを確認する助けにもなる。

ただし、ヴェン図はあくまで予想であって、証明ではない。

また、ヴェン図だけでは対処できない問題が後々で出てくる。

ゆえに、なるべく論理的な議論に慣れておいた方がよいであろう。