集合の基本1(元など)

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定義 ( 集合 )

数学的に規定された要素の集まりを 『 集合 』 という。

例えば、『 1≦n≦3 を満たす自然数 n の全体 』 は 1、2、3 である。

注意

いくつかの基本的な集合に対し、慣用的に次のような記号を用いる。

自然数全体 : N

整数全体 : Z

有理数全体 : Q

実数全体 : R

複素数全体 : C

上では 「 〜全体 」 と書いたが、より正確には 「 〜全体がなす集合 」 という。

これを簡略して 「 〜全体の集合 」、「 〜全体 」 という書物も多い。

このサイトでは 「 〜全体 」 という。

参考 ( 素朴集合論と公理的集合論〜その1 )

実は、集合を厳密に定義することは非常に難しい。

そのため、最初に集合論を学ぶときには、上記のように素朴な集合を考えることが多い。

これを 『 素朴集合論 』 という。

素朴な集合では 『 ラッセルのパラドクス 』 などが生じることが知られている。

むろん、パラドクスが生じることは好ましいことではない。

後の数学者の仕事により、公理系をうまく選ぶことによってパラドクスを回避できることが分かった。

このような研究を 『 公理的集合論 』 という。

ただし、公理的集合論は非常に難解である。

また、公理的集合論は神経質な世界であり、初学の段階でパラドクスを強く意識する必要はない。

参考 ( 素朴集合論と公理的集合論〜その2 )

素朴集合論と公理的集合論は別分野であると考えてよい。

素朴集合論は 「 素朴に集合を認めて集合の操作を学ぶ分野 」 である。

公理的集合論は 「 集合そのものを研究対象とし、集合を定義する分野 」 である。

よって、公理的集合論を学んだとしても、それが素朴集合論の理解に役立つことはない。

また、通常の数学(解析学、幾何学、代数学)に役立つこともない。

この辺りは非常に誤解されやすいので注意されたい。

定義 ( 元 )

集合を構成する1つ1つの要素を 『 元(げん)』 という。

x が集合 A の元であるとき、「 x は A に属する 」 といい、x∈A と表す。

例えば、次のように表せる。



また、『 ∈ 』 の記号に斜線を入れることで、「 属していない 」 ことを意味する。

例えば、次のように表せる。

定義 ( 外延的記法、内包的記法 )

ある集合について、括弧{ }の中に元を全て書き連ねる方法を 『 外延的記法 』 という。

一方、括弧を縦線で区切って右側に条件を書く方法を 『 内包的記法 』 という。

例えば、『 2乗すると4になる実数全体 』 は次のように2通りに表せる。



前者が外延的記法であり、後者が内包的記法である。

ただし、内法的記法では縦線|の代わりにセミコロン ; を用いることもある。

集合を書くとき、{ }の中に同じ元を重複して書いてもよい。

ただし、重複した元は1つの元と見なされる。

例えば、{1、2、3、3、3} は {1、2、3} と見なされる。

また、{ }の中に元を書き並べる順番は自由である。

例えば、{1、3、2} と {1、2、3} は同じ意味である。

{ }の中の右側に条件を書くとき、コンマで区切ることによって複数の条件を書くことができる。

( 既に上の定義の中でも書いた )

また、ある集合の条件の1つに 『 a∈A 』 があるとする。

このとき、{ a∈A | a の条件 } のように表してもよい。

例えば、次の集合(1)〜(3)は全て同じ意味をもつ。

縦線|の代わりに : を用いることもある。

このサイトでは基本的には縦線で区切るが、必要に応じて : を用いることもある。

例えば、{ x∈R | || x ||>0 } と表すと分かりにくいので、{ x∈R : || x ||>0 } と表す。

定義 ( 空集合、有限集合、無限集合 )

元が1つも属さない集合を 『 空集合 』 といい、φと表す。

元を有限個だけ含む集合を 『 有限集合 』 という。

そうでない集合を 『 無限集合 』 という。

例えば、 は無限集合である。

正式には、空集合の記号は次のように表される。



しかし、レイアウトの都合上、ギリシャ文字の φ(ファイ) が用いられることも多い。

定義 ( 集合の相等 )

A、B を集合とする。

A と B の元が一致するとき、「 A と B は等しい 」 という。

このとき、A=B と表す。