写像(単射、全射)

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定義 ( 写像 )

X、Y を集合とする。

任意の x∈X に対し、ある y∈Y が一意に定まるとする。

このような対応規則を 『 X から Y への写像 』 という。

定義 ( 定義域、終域 )

f を X から Y への写像とする。

このとき、次のように表す。



X を 『 f の定義域 』 という。

Y を 『 f の終域 』 という。

各 x∈X に対応する Y の元を f(x)と表す。

f(x)を 『 f による x の値 』 という。

例えば、次のような対応規則 f、g を考えてみよう。



このとき、f は X から Y への写像である。

しかし、g は X から Y への写像ではない。

なぜなら、対応規則 g では、4∈X に対して Y の元が対応していないからである。

ただし、A={1、2、3}とおけば、g は A から Y への写像である。

定義 ( 写像の相等 )

f:X→Y と g:U→V を写像とする。

次の(1)〜(3)が成り立つとする。

(1) X=U

(2) Y=V

(3) 任意の x∈X に対し、f(x)=g(x)である。

このとき、「 f と g は等しい 」 といい、f=g と表す。

条件(1)や(2)は、状況に応じて外す場合もある。

本質的に重要なのは、(3)である。

つまり、「 ある点 x で f(x)=g(x) 」 と 「 任意の点 x で f(x)=g(x) 」 を区別することが重要である。

定義 ( 像、逆像 )

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

B を Y の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、(1)を 『 f による A の像 』 という。

また、(2)を 『 f による B の逆像 』 という。

ところで、f(x)は Y の 『 元 』 である。

つまり、f(x)∈Y である。

一方、f(A)は Y の 『 部分集合 』 である。

つまり、f(A)⊂Y である。

また、f−1(B)は X の部分集合である。

つまり、f−1(B)⊂X である。

写像の様子を図示すると、次のようになる。

次のように定める。



A={ x | 2≦x≦3 }、B={ x | 4≦x≦6 }とする。

このとき、

次のように定める。



A={ x | −1≦x≦2 }、B={ x | 0≦x≦9 }とする。

このとき、

定義 ( 値域 )

f:X→Y を写像とする。

このとき、f(X)を 『 f の値域 』 という。

『 f の値域 』 と 『 f の終域 』 を混同しないように注意。

定義 ( 単射 )

f:X→Y を写像とする。

次が成り立つとする。



このとき、「 f は単射である 」 という。

これの対偶を考えて、次のように言い換えることも多い。

(*1)は、定義として分かりやすい。

(*2)は、実際に f が単射であることを示す場合によく用いられる。

(*1)を詳しく書くと、



(*2)を詳しく書くと、

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7、8}とする。

次のように定める。



このとき、f は単射である。

実際、明らかに、x≠x’⇒ f(x)≠f(x’)である。

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7、8}とする。

次のように定める。



このとき、f は単射ではない。

実際、1≠2 であるが、f(1)=f(2)である。

次のように定める。



このとき、f は単射である。

このことは、次のようにして証明される。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(x)=f(x’)と仮定する。

いま、2x=2x’である。

よって、x=x’である。

以上により、f(x)=f(x’)⇒x=x’である。

よって、f は単射である。

次のように定める。



このとき、f は単射ではない。

実際、−2≠2 であるが、f(−2)=f(2)である。

定義 ( 全射 )

f:X→Y を写像とする。

次が成り立つとする。



このとき、「 f は全射である 」 という。

つまり、f が全射であることは f(X)=Y を意味する。

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7、8}とする。

次のように定める。



このとき、f は全射ではない。

実際、8∈Y に対し、f(x)=8 を満たすような x∈X は存在しない。

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7}とする。

次のように定める。



このとき、f は全射である。

実際、明らかに、任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、f(x)=y となるようにできる。

次のように定める。



このとき、f は全射ではない。

実際、1∈ に対し、f(x)=1 を満たす x∈ は存在しない。

次のように定める。



このとき、f は全射ではない。

実際、−2∈ に対して、f(x)=−2 を満たす x∈X は存在しない。

ここで、f の終域を から [0、∞)に変更する。

つまり、次のように定める。



このとき、f は全射である。

実際、明らかに、任意の y∈[0、∞)に対し、ある x∈X が存在して、f(x)=y となるようにできる。

定義 ( 全単射 )

全射かつ単射の写像を 『 全単射 』 という。

例えば、次のような写像 f、g、h を考えてみよう。



このとき、f は全単射である。

g は単射だが、全射ではない。

h は全射だが、単射ではない。

参考 ( 高校の関数との比較 )

既に例で紹介したように、定義域の元に対して値が重複することは問題ない。

例えば、次のような対応規則は写像として認められる。



しかし、定義域の1つの元に対して、値が一意に定まらないものは写像とは呼ばない。

例えば、次のような対応規則は写像として認められない。



実は、これは高校で学ぶ関数の定義も同じである。

高校の関数は 「 x に対して値 y が1つに定まる 」 と定義されている。

ただし、下図のように、異なる x に対して値 y が重複しても問題はない。

値 y が1つに確定すればよいのである。



一方、下図のように、1つの x に対して値 y が1つに定まらないものは関数とは呼ばない。



だからこの場合は、y>0 と y<0 で別個に関数を考える必要がある。

ただし、これを 『 1つの曲線 』 と呼ぶことはあるかもしれない。

このように、実は高校の教科書は大学の写像の概念と矛盾しないように書かれているのである。

『 写像 』 と 『 関数 』 はほぼ同じ意味で用いられる。

ただ、写像の方がより広い意味で使われることが多い。

定義 ( 逆写像 )

f:X→Y を全単射とする。

いま、任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、y=f(x)となる。

つまり、任意の y∈Y に対し、一意に x∈X が定まる。

そこで、次のように定義できる。



−1 を 『 f の逆写像 』 という。

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7}とする。

次のように定める。



このとき、f は全単射である。

f の逆写像は次のように表せる。

上の定義によれば、f が全単射のときにのみ逆写像 f−1 が定義される。

逆に言えば、f が全単射でなければ、逆写像 f−1 は定義されない。

これには理由がある。

まず、単射でない写像として次のようなものを考えてみよう。



このように、値が重複しても、これは写像と呼んでもよいのであった。

( 単射ではないというだけのことだ )

ところが、これの逆を考えると、



これは写像ではない。

なぜなら、Y の元に対し、X の元が一意に確定していないからである。

だから、逆写像を定義するときには 「 f が単射である 」 という前提条件が必要である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に全射でない写像として次のようなものを考える。



これの逆を考えると、



これは写像ではない。

なぜなら、Y の元について、X の元と対応していないものがあるからである。

だから、逆写像を定義するときには、「 f が全射である 」 という前提条件が必要である。

参考

逆像と逆写像は別の概念であることにも注意しよう。

同じ f−1 という記号を用いているが、意味は異なる。

参考

逆像は必ず存在するが、逆写像は存在するとは限らない。

逆写像 f−1 は、f が全単射のときにのみ定義される。

X={1、2、3}とし、Y={5、6、7、8}とする。

次のように定める。



このとき、各逆像は、



上から分かるように、「 逆像は必ず存在する 」 ことに注意しよう。

例えば、f−1({7})=φと書かれているが、これは空集合という集合が存在すると考える。

次のように定める。



このとき、f は全射ではない。

実際、−2∈ に対して、f(x)=−2 を満たす x∈X は存在しない。

よって、f は全単射でないから、f の逆写像は存在しない。

しかし、逆像 f−1([−2、1])は存在する。

−1([−2、1])=[−1,1] である。

参考

上では、f−1([−2、1])と書いた。

これを f−1[−2、1] と表すこともある。

参考

単射を 『 1対1の写像 』 と呼び、全射を 『 〜上への写像 』 と呼ぶ習慣もある。

しかし、言葉が長くなるので、このサイトでは用いない。

このサイトでは単射・全射という言葉で統一する。