多変数の述語

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定義 ( 多変数の述語 )

2つ以上の自由変数をもつ述語を 『 多変数の述語 』 という。

とくに、2つの自由変数 x、y をもつ述語を P(x、y)と表す。

P(x、y)の x だけに値を代入したとする。

この場合、P(x、y)は y を変数とする1変数の述語になる。

一方、P(x、y) の y だけに値を代入したとする。

この場合、P(x、y)は x を変数とする1変数の述語になる。

P(x、y) の x と y 両方に値を代入すると、P(x、y) は命題になる。

P(x、y) の真理集合は、命題 P(a、b)が真となるような a と b の組(a、b)全体である。

x の変域を A とし、y の変域を B とすると、P(x、y) の真理集合は A×B の部分集合である。

Z12

A を x の変域とし、B を y の変域とする。

次は同値である。



次は同値である。

証明

明らかである。

Z13

次が成り立つ。

(1)の証明

Z6より、

(2)の証明

Z6より、

参考

次の2つの命題の意味は異なる。



ここで、P(x、y)を 「 人間 x は、食品 y を食べる 」 と定義する。

このとき、(1)と(2)は次のような意味になる。

(*1) 任意の人間 x に対し、ある食品 y が存在して、x は y を食べる。

(*2) ある人間 x が存在して、任意の食品 y に対し、x は y を食べる。