写像の集合、同一視という考え方

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定義 ( 定値写像 )

X、Y を空でない集合とする。

b を Y に属する1つの元とする。

このとき、任意の x∈X に対して b∈Y を対応させた写像 f:X→Y を 『 定値写像 』 という。

定義 ( 包含写像 )

A を X の部分集合とする。

このとき、任意の x∈A に対して x 自身を対応させた写像 f:A→X を 『 包含写像 』 という。

つまり、包含写像はつねに単射である。

A=X とすると、この包含写像は恒等写像になる。

定義 ( 特性写像 )

X を集合とする。

A を X の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 A の特性写像 』 という。

定義 ( 写像の集合 )

X、Y を集合とする。

X から Y への写像全体を Map(X、Y)と表す。

つまり、Map(X、Y)は写像の集合である。

実数列 a、a、a、・・・ は から への写像である。

実数列全体は Map()である。

C1

X を集合とする。

を X の巾集合とする。

このとき、2 と Map(X、{0、1})の間に全単射が存在する。

証明

A∈2 とおく。( つまり、A は X の部分集合である )

を A の特性写像とする。

つまり、



次のように定める。



( この写像 g が全単射であることを示せばよい )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f∈Map(X、{0、1})とおく。

A=f−1({1})とおく。

つまり、A={ x|f(x)=1 } である。

いま、f=F である。

よって、g(A)=F= f である。

以上により、



よって、g は全射である。

また、明らかに A≠B ⇒ F≠F である。

よって、 A≠B ⇒ g(A)≠g(B)である。

よって、g は単射である。

以上により、g は全単射である。

定義 ( 同一視 )

f:X→Y を全単射とする。

いま、x∈X と f(x)∈Y は全て1対1で対応する。

そこで、x∈X と f(x)∈Y を同じものと見なすことができる。

このとき、 「 x と f(x)を同一視する 」 あるいは 「 X と Y を同一視する 」 という。

C2

X を集合とする。

A を X の部分集合とする。

:X→{0、1} を A の特性写像とする。

このとき、A と F は同一視できる。

証明

次のように定める。



いま、g は全単射である。(※C1の証明の中で示した)

よって、A と F は同一視できる。

( 2 と Map(X、{0、1})を同一視できるともいえる )

参考

普通、同一視するときには、自然な全単射を考える。

今回の場合、A と F は自然な対応であるといえる。

何の脈絡もない不自然な対応を同一視しても意味はない。