点列コンパクト(最大値・最小値の定理)

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定義 ( 点列コンパクト〜その1 )

(X、d)を距離空間とする。

任意の点列(xn∈⊂X が収束部分列を含むとする。

このとき、「 X は点列コンパクトである 」 という。

定義 ( 点列コンパクト〜その2 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A が X の部分距離空間として点列コンパクトであるとする。

このとき、「 A は点列コンパクトである 」 という。

つまり、A が点列コンパクトであることは次の(*1)、(*2)を意味する。

(*1) 任意の(xn∈⊂A は収束部分列を含む。

(*2) (xn∈⊂A の収束部分列の極限は A に属する。

とくに、(*2)を見落とさないように注意が必要である。

B40

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は点列コンパクトであるとする。

このとき、A は有界閉集合である。

証明

( まず、A が閉集合であることを示す )

x∈ とおく。

いま、点列(xn∈⊂A が存在して、その極限が x となる。(※B20)

このとき、任意の部分列(xρ(n)n∈ は x に収束する。(※B37)

よって、x∈A である。(※定義:点列コンパクト)

( もし x∈A でなければ部分列が収束しないことになって矛盾する )

以上により、⊂A である。

一方、明らかに、A⊂ である。

よって、A= である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( A が有界であることを示す )

A が有界でないと仮定する。(背理法)

a∈A とおく。

まず、x=a とおき、r=1 とおく。

いま、A は有界でないから、A−S(a、r)は空ではない。(※B29)

そこで、A−S(a、r)から点 x を取り出して、r=d(a、x)+1 と定める。

いま、A は有界でないから、A−S(a、r)は空ではない。(※B29)

そこで、A−S(a、r)から点 x を取り出して、r=d(a、x)+1 と定める。

これを繰り返して点列(xn∈ を構成する。

いま、m>n ⇒ d(x、x)≧1 である。

よって、(xn∈ は収束部分列をもたない。

これは矛盾である。

B41 ( 点列コンパクト性は閉集合に遺伝する )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は点列コンパクトであるとする。

閉集合 B⊂X が B⊂A を満たすとする。

このとき、B は点列コンパクトである。

証明

(xn∈ を B の点列とする。

このとき、(xn∈ は A の点列でもある。

よって、(xn∈ は A の中に収束する部分列をもつ。

B は閉集合であるから、その極限は B に属する。(※B20、定義:閉集合)

B42 ( ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 )

をユークリッド空間とする。

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は点列コンパクトである。

(2) A は有界閉集合である。

証明

(1)⇒(2)は既に示した。(※B40)

(2)を仮定する。

(xn∈ を A の点列とする。

=(x、・・・、x)とおく。

仮定より、(xn∈ の有界数列である。

よって、(xn∈ は収束する部分列をもつ。(※実数の連続性)

その部分列を(xρ(n)n∈ とおき、その極限を a とする。

新しく、xρ(n)=(xρ(n)、・・・、xρ(n))とおく。

このとき、(xρ(n)n∈ の有界数列である。

よって、(xρ(n)n∈ は収束する部分列をもつ。(※実数の連続性)

その部分列を(xρ(n))とおき、その極限を a とする。

( ただし、{ρ(n)|n∈}⊂{ρ(n)|n∈}とする )

これを繰り返し、最終的に xρ(n)=(xρ(n)、・・・、xρ(n))とおく。

この点列は極限 a=(a、・・・、a)をもつ。

A は閉集合であるから、a∈A である。(※B20、定義:閉集合)

参考 ( ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理について、実数の連続性との関連 )

微分積分(第1章)の実数の連続性では次の定理を示した。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

M5 ( ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 )

有界な数列は収束する部分列をもつ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これを一般化させたものがいま上で証明した B42 である。

B43

(X、d)を距離空間とする。

(An∈ を X の点列コンパクト部分集合の列とする。

任意の n∈ に対し、An+1⊂A かつ A≠φであるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

各 A から元 x を取り出し、点列(xn∈ を構成する。

この点列は A に含まれる。

よって、(xn∈ は収束する部分列(xρ(n)n∈ をもつ。

その極限を a とする。

また、A は閉集合である。(※B40)

よって、a∈A である。(※B20、定義:閉集合)

いま、任意の m∈ に対し、{ xρ(n)|ρ(n)≧m }⊂A である。

(xρ(n)n∈ から ρ(n)≧m を満たす項を取り出し、

それをそのままの順番で構成した点列を(yn∈ と表す。

は閉集合であるから、(yn∈ の極限 a は A に属する。

m は任意であるから、

B44 ( 点列コンパクト性は連続写像の像に遺伝する )

(X、d)、(Y、d)を距離空間とする。

f:X→Y を連続写像とする。

A を X の点列コンパクトな部分集合とする。

このとき、f(A)は(Y、d)において点列コンパクトである。

証明

(yn∈⊂f(A)を点列とする。

このとき、任意の y に対し、ある x∈A が存在して、f(x)=y となる。(★)

いま、A は点列コンパクトである。

よって、(xn∈⊂A は収束部分列(xρ(n)n∈ をもつ。

a を(xρ(n)n∈ の極限とする。

つまり、xρ(n)→a (n→∞) かつ a∈A である。

よって、f(xρ(n))→f(a)である。(※B21)

また、(★)より、f(xρ(n))=yρ(n) である。

つまり、(yρ(n)n∈ は f(a)に収束する。

しかも、(yρ(n)n∈ は(yn∈ の部分列である。

以上により、f(A)は点列コンパクトである。

B45 ( 最大値・最小値の定理 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の点列コンパクトな部分集合とする。

f:X→ を実連続関数とする。

このとき、f は A 上で最大値と最小値をとる。

つまり、ある a、b∈A が存在して、任意の x∈A に対して、f(a)≦f(x)≦f(b)となる。

補足

とくに、X= の場合を考えてみよう。

このとき、点列コンパクトと有界閉集合は同値である。(※B42)

つまり、 は有界閉集合上で最大値・最小値をもつ。

これは微分積分学の多変数の最大値・最小値の定理である。

証明

f(A)が において上に有界でないと仮定する。(背理法)

このとき、任意の n∈ に対して、A={ x∈A|f(x)≧n }≠φである。

つまり、A= f−1[n、∞)である。

よって、A は X の閉集合である。(※B22)

いま、A⊂A である。

よって、A は点列コンパクトである。(※B41)

いま、An+1⊂A である。

よって、次が成り立つ。(※B43)



そこで、次のようにおく。



このとき、任意の m∈ に対して、f(c)≧m である。

しかし、f(c)は有限な値である。

これは矛盾である。

よって、f(A)は において上に有界である。

同様の議論により、f(A)が下に有界であることも示される。

よって、f(A)は上限と下限をもつ。(※実数の連続性)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

そこで、L=supf(A)とおく。

={ x∈A|L−(1/n)≦f(x)≦L }とおく。

つまり、A= f−1[L−(1/n)、L] である。

よって、A は閉集合である。(※B22)

また、A は空ではない。

よって、上の議論と同様に、



そこで、次のようにおく。



このとき、任意の n∈ に対して、L−(1/n)≦f(b)≦L である。

よって、L=f(b)である。

よって、f(b)は f(A)の最大値である。

同様に、最小値の存在も示される。