距離空間において、コンパクト⇔点列コンパクト

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定義 ( 自然な位相 )

(X、d)を距離空間とする。

(X、d)の開集合全体は位相空間の公理を満たす。(※B8)

そこで、距離空間の開集合全体を位相として採用すれば、X は位相空間になる。

このように、距離空間(X、d)に対して自然に定まる位相を 『 自然な位相 』 という。

既に第2章で述べたように、 に対して自然な距離が入る。

むろん、この距離に対して自然な位相が入る。

つまり、 には自然に位相が入る。

参考 ( 第1章と第2章の比較 )

距離空間に自然な位相を導入しよう。

このとき、位相空間論の定理はすべて距離空間論にも適用できる。

例えば、

(1) A5 は B14 の一般化である。(※B8)

(2) A10 は B15 の一般化である。(※B8)

(3) A20 は B22 の一般化である。(※B8)

つまり、第1章を既知とすれば、B14、B15、B22 の証明は省略(または一部省略)できる。

定義 ( ルベーグ数 )

(X、d)を距離空間とする。

を X の開被覆とする。

次が成り立つとする。



このような条件を満たすεを 『 のルベーグ数 』 という。

復習 ( 点列コンパクト )

(X、d)を距離空間とする。

任意の点列(xn∈⊂X が収束部分列を含むとする。

このとき、「 X は点列コンパクトである 」 という。

P1

点列コンパクトな距離空間(X、d)の開被覆はルベーグ数をもつ。

証明

を(X、d)の開被覆とする。

この がルベーグ数をもたないとする。(背理法)

つまり、



よって、



よって、



よって、



ε>0 は任意であるから、ε=1/n (n∈)とおいてよい。

各 n∈ に対して、X の部分集合 A を選ぶと、



(*)の右端に注目すると、A≠φであることが分かる。

そこで、各 n∈ に対して、点 x∈A を選ぶ。

仮定より、点列(xn∈ は収束部分列(xρ(n)n∈ を含む。

そこで、(xρ(n)n∈ の極限を x∈X とする。

は X の開被覆であるから、ある U∈ が存在して、x∈U となる。

いま、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂U である。

また、



いま、xρ(N)∈Aρ(N) かつ diam(Aρ(N))<1/ρ(N)<ε/2である。

よって、



よって、Aρ(N)⊂S(x、ε)である。

よって、Aρ(N)⊂U である。

これは(*)に矛盾する。

P2

距離空間はハウスドルフ空間である。

証明

x、y を異なる2点とする。

ε=d(x、y)/3 とおく。

このとき、S(x、ε)∩S(y、ε)=φである。

P3

(X、d)を距離空間とする。

A を X の無限部分集合とする。

a を A の集積点とする。

このとき、任意のε>0 に対し、S(a、ε)∩A は無限集合である。

証明

あるε>0 に対して、S(a、ε)∩A は有限集合であるとする。(背理法)

(X、d)はハウスドルフ空間である。(※P2)

よって、(X、d)は T である。(※A28)

よって、(X、d)の1点集合は閉集合である。(※A27)

よって、(X、d)の有限部分集合は閉集合である。(※A7)

よって、S(a、ε)∩A は閉集合である。

むろん、S(a、ε)∩(A−{a})も閉集合である。

よって、あるδ>0 が存在して、S(a、δ)∩(S(a、ε)∩(A−{a}))=φとなる。(※B11)

ここで、η=max{ε、δ}とおく。

このとき、S(a、η)∩(A−{a})=φである。

これは a が A の集積点であることに矛盾する。

よって、S(a、ε)∩A は無限集合である。

P4

全有界距離空間(X、d)は第2可算公理を満たす。

証明

n∈ とおく。

いま、(X、d)は全有界である。

よって、X の有限部分集合 A が存在して、次が成り立つようにできる。



次のようにおく。



このとき、A は高々可算である。(※集合論)

次のようにおく。



このとき、 は高々可算である。(※集合論)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈X とおく。

ε>0 とおく。

いま、



また、



よって、 は(X、d)の基底である。(※A16)

よって、(X、d)は第2可算公理を満たす。

P5 ( 距離空間においてコンパクト性と点列コンパクト性は同値 )

(X、d)を距離空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) X はコンパクトである。

(2) X は点列コンパクトである。

(3) X は全有界かつ完備である。

(4) X における任意の無限部分集合は集積点をもつ。

(1)⇒(4)の証明

(1)を仮定する。

X の無限部分集合 A が集積点をもたないとする。(背理法)

x∈X とおく。

いま、x は A の集積点ではない。

よって、あるε>0 が存在して、S(x、ε)∩(A−{x})=φとなる。

つまり、x の開近傍 O が存在して、O∩(A−{x})=φとなる。

また、O∩A⊂{x}である。(★)

いま、{O | x∈X}は X の開被覆である。

よって、ある有限個の点 x、・・・、x∈X が存在して、X=Ox1∪・・・∪Oxn となる。

よって、(★)より、



よって、A は有限集合である。

これは A が無限集合であることに矛盾する。

よって、A は集積点をもつ。

(4)⇒(2)の証明

(4)を仮定する。

(xn∈ を X の点列とする。

無限個の n に対して x が同じ点である場合、(xn∈ は収束部分列を含む。

一方、そうでない場合を考える。

このとき、集合 A={ x | n∈ } は無限集合である。

よって、仮定より、A の集積点 x∈X が存在する。

このとき、任意のε>0 に対し、S(x、ε)∩A は無限集合である。(※P3)

そこで、x∈S(x、1)を満たす x を取り出して、ρ(1)=n とおく。

任意の自然数 k≧2 に対し、S(x、1/k)∩A は無限集合である。

よって、ρ(k−1)<ρ(k)かつ xρ(k)∈S(x、1/k)を満たすρ(k)∈ を選ぶことができる。

このとき、d(x、xρ(k))<1/k → 0 である。

よって、xρ(k) → x である。

つまり、(xn∈ は収束する部分列を含む。

(2)⇒(3)の証明

(2)を仮定する。

このとき、(X、d)のコーシー列は収束部分列をもつ。

よって、もとのコーシー列も収束する。(※B38)

よって、(X、d)は完備である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(X、d)は全有界でないと仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

x∈X とおく。

=S(x、ε/3)とおく。

このとき、diam(U)<εである。

∈X とおく。

いま、(X、d)は全有界でない。

よって、あるε>0 が存在して、任意の n≧2 に対して、次を満たす点 x をとることができる。



このとき、任意の N、N に対して、N≠N ⇒ d(xN1、xN2)≧ε/3 である。

よって、(xn∈ は収束部分列を含まない。

これは仮定(2)に矛盾する。

よって、(X、d)は全有界である。

(3)⇒(1)の証明

(3)を仮定する。

={Oλ|λ∈J}を X の開被覆とする。

(X、d)は全有界であるから、X は高々可算な基底 をもつ。(※P4)

を、あるλ∈J に対して B⊂Oλとなる B∈ 全体とする。

このとき、 は X の高々可算開被覆である。(★)

そこで、={B | n∈}とおく。

ここで、X=B∪・・・∪B となるような自然数 n は存在しないと仮定する。(背理法)

このとき、X の点列(xn∈ で次を満たすものが存在する。



この点列(xn∈ はコーシー列(yn∈ を部分列としてもつ。(※B51)

(X、d)は完備であるから、(yn∈ は極限 y をもつ。

は X の開被覆であるから、ある B が存在して、y∈B となる。

コーシー列(yn∈ は y に収束するから、



ここで、n=max{k、N}とおく。

このとき、ある自然数 m≧n が存在して、y=x となる。(※定義:部分列)

(*1)より、



よって、



よって、



これは(*2)に矛盾する。

よって、ある自然数 n が存在して、X=B∪・・・∪B となる。

の定義より、



よって、X=Oλ1∪・・・∪Oλn である。

よって、X はコンパクトである。

(★)について補足

もしかしたら、

「 本当に被覆できるのだろうか?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これを確認してみよう。

x∈X とおく。

いま、ある Oλ が存在して、x∈Oλ となる。

よって、ある B∈ が存在して、x∈B⊂Oλ となる。(※A16)

つまり、任意の x∈X に対し、B∈ が存在して、x∈B となる。

しかも、B⊂Oλ であるから、B∈ である。

つまり、 は X を被覆している。