点列の収束性

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定義 ( 収束 )

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

a∈X とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「(xn∈ は a に収束する 」 といい、次のように表す。



または、次のように表す。



このとき、a を 『 (xn∈ の極限 』 という。

B17

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

(xn∈ が収束するとき、極限は一意的に定まる。

証明

点列(xn∈ が2つの極限 a、a’をもつとする。

ε>0 とおく。

いま、



N=max{N、N}とおくと、



つまり、任意のε>0 に対して、d(a、a’)<εである。

よって、d(a、a’)=0 である。

よって、a=a’である。(※距離の公理)

B18 ( 点列の収束 ⇔ 数列の収束 )

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

x∈X とおく。

このとき、次は同値である。

(1) 点列(xn∈ は点 x に収束する。

(2) 数列(d(x、x))n∈ が 0 に収束する。

補足

数列はユークリッド空間 の点列と見なせる。

証明

以下、全て互いに同値である。

B19

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈、(yn∈ を X の収束点列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

x を(xn∈ の極限とする。

y を(yn∈ の極限とする。

距離の公理より、



よって、



同様に、



よって、



ε>0 とおく。

→ x (n→∞)であり、y → y (n→∞)であるから、



N=max{N,N}とおくと、



以上により、



よって、



よって、

B20 ( 触点に対する同値条件 )

(X,d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) a∈

(2) 点列(xn∈⊂A が存在して、x→a (n→∞)となる。

補足

(xn∈⊂A は、任意の n∈ に対して x∈A であることを意味する。

ただし、(xn∈ の極限が A に属するとは限らない。

証明

(1)を仮定する。

このとき、任意の n∈ に対して、S(a、1/n)∩A≠φである。

よって、ある点列(xn∈⊂A が存在して、任意の n∈ に対して、x∈S(a、1/n)となる。

このとき、d(x、a)<1/n である。(※B3)

よって、x→a (n→∞)である。(※B18)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

このとき、n を十分大きくとれば、d(x、a)<εとなる。

よって、x∈S(a、ε)である。(※B3)

∈A であるから、S(a、ε)∩A≠φである。

つまり、任意のε>0 に対して S(a、ε)∩A≠φである。

よって、a∈ である。(※定義:閉包)

参考

A が閉集合である場合、(xn∈⊂A が a に収束するならば、a∈A である。(※B20、定義:閉集合)

A が開集合である場合、(xn∈⊂A が a に収束しても、a∈A とは限らない。(※B20、定義:閉集合)