コンパクト集合上で、連続写像⇒一様連続

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定義 ( 自然な位相 )

(X、d)を距離空間とする。

(X、d)の開集合全体は位相空間の公理を満たす。(※B8)

そこで、距離空間の開集合全体を位相として採用すれば、X は位相空間になる。

このように、距離空間(X、d)に対して自然に定まる位相を 『 自然な位相 』 という。

既に第2章で述べたように、 に対して自然な距離が入る。

むろん、この距離に対して自然な位相が入る。

つまり、 には自然に位相が入る。

参考 ( 第1章と第2章の比較 )

距離空間に自然な位相を導入しよう。

このとき、位相空間論の定理はすべて距離空間論にも適用できる。

例えば、

(1) A5 は B14 の一般化である。(※B8)

(2) A10 は B15 の一般化である。(※B8)

(3) A20 は B22 の一般化である。(※B8)

つまり、第1章を既知とすれば、B14、B15、B22 の証明は省略(または一部省略)できる。

P1

距離空間はハウスドルフ空間である。

証明

x、y を異なる2点とする。

ε=d(x、y)/3 とおく。

このとき、S(x、ε)∩S(y、ε)=φである。

P2

距離空間(X、d)は正規空間である。

証明

明らかに、X は T空間である。(※P1、A28)

( 次に、X が T空間であることを示す )

、F を X の閉集合とする。

∩F=φとする。(★1)

写像 g を次のように定める。



このとき、g は X 上の実連続関数である。(※B34、B23)

よって、O={x | g(x)<0}、O={x | g(x)>0}は X の開集合である。(※B22)

( O=f−1(−∞、0)、O=f−1(0、∞)であることに注意 )

また、O∩O=φである。(★2)

ここで、x∈F とおく。

このとき、d(x、F)=0 である。

また、x は F に属さない。

よって、d(x、F)>0 である。(※B32)

よって、g(x)<0 である。

よって、x∈O である。

以上により、F⊂O である。(★3)

同様に、F⊂O である。(★4)

(★1)〜(★4)より、X は T空間である。

P3

(X、d)をコンパクトな距離空間とする。

(Y、d)を距離空間とする。

このとき、(X、d)から(Y、d)をへの連続写像は一様連続である。

補足

第1章では 『 位相空間 』 に対してコンパクト性を定義した。

一方、今回は 『 距離空間 』 に対してコンパクト性を議論している。

これは距離空間に自然な位相を導入して、この位相に関してコンパクト性を考えるということである。

証明

f:X→Y を連続写像とする。

ε>0 とおく。

a∈X とおく。

f は連続であるから、



( このとき、δ(a)はδが a に依存して決まることを印象付けている )

ここで、次のようにおく。



このとき、 は X の開被覆である。

いま、X はコンパクトである。

よって、X から有限個の a、・・・、a を選んで次が成り立つようにできる。



ここで、次のようにおく。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 準備が整ったので、以下、f が一様連続であることを示す )

x、y∈X とおく。

(x、y)<δとする。

は X の開被覆であるから、



このとき、



以上により、



よって、(*)より、



よって、



よって、f は一様連続である。

補足

ところで、なぜ有限個の点 a、・・・、a を選ぶ必要があったのだろうか?

その理由はδの定め方にある。δを定めるとき、n個の値から最小のものを選んだが、

もしこれが無限個の値であったら、最小値をとれるとは限らない。

だから、この定理には X がコンパクトであるという条件が必要なのである。

参考

微分積分学で示したように、A⊂ について次の(*1)〜(*3)は同値である。

(*1) A はコンパクトである。

(*2) A は点列コンパクトである。

(*3) A は有界閉集合である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よって、次が成り立つ。(※P3)

(*4)  において有界閉集合上の連続関数は、一様連続である。

これは微分積分学などでよく知られている。

とくに、次が成り立つ。

(*5) 有界閉区間上の連続関数は一様連続である。

一様連続の意味に注意すれば、(*5)が成り立つことは直観的にも明らかであろう。