直線の連続性

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P1 ( 直線は連続 )

f:[0、1]→ を f(t)=(1−t)a+tb で定める。

このとき、f は連続である。

証明

f:[0、1]→ を f(t)=(1−t)a+tb で定める。

z∈ とおく。

ε>0 とおく。

δ=ε/(b−a) とおく。

いま、|x−z|<δ ⇒|f(x)−f(z)|<εである。(★)

よって、f は連続である。

補足

もしかしたら、(★)に対して、

「 これで関数の連続性を示したことになるのだろうか?連続性の定義と少し違うような・・・? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

疑問を解決するために、(★)を一般的に表すと、d(x、z)<δ ⇒ d(f(x)、f(a))<ε である。

これは距離空間の連続写像の定義と完全に同じ式である。

しかし、いま考えているのは 『 1次元ユークリッド空間 』 である。

通常、1次元ユークリッド空間の距離は|x−z|で定義される。

なので、|x−z|<δ ⇒|f(x)−f(z)|<ε と表してよい。

補足

上では 『 1変数1次元直線の連続性 』 を示した。

同様に 『 n 変数 n 次元直線の連続性 』 も示せる。

しかし、以下では直積空間の理論を用いて別の方法で示してみよう。

P2 ( 各成分が連続ならば連続 )

X を距離空間とする。

Y=Y×・・・×Y を直積距離空間とする。

f:X→Y を写像とする。

pr:Y→Y ( i=1、・・・、n ) を射影とする。

pr*f:X→Y ( i=1、・・・、n ) は連続であるとする。

このとき、f は連続である。

証明

x∈X とおく。

(x)⊂X を x に収束する点列とする。

いま、pr(f(x))→pr(f(x)) である。(※B21)

よって、f(x)→f(x) である。(※B26)

よって、f は連続である。(※B26)

P3 ( n次元ユークリッド空間における直線の連続性 )

a、b∈ とおく。

f:[0、1]→ を f(t)=(1−t)a+tb で定める。

このとき、f は連続である。

証明

a=(a、・・・、a)、b=(b、・・・、b) とおく。

pr を射影とする。

いま、pr*f:[0、1]→ であり、pr*f(t)=(1−t)a+tb である。

よって、pr*f は連続である。(※P1)

よって、f も連続である。(※P2)