部分距離空間、直積距離空間

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定義 ( 部分距離空間 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

:A×A→ を d の制限とする。

明らかに、d は A の距離関数である。

よって、とくに必要がない場合には d を d と表しても問題はない。

(A、d)を 『 X の部分距離空間 』 という。

定義 ( 直積距離空間 )

(X、d)、・・・、(X、d)を距離空間とする。

X を X、・・・、X の直積とする。

x=(x、・・・、x)、y=(y 、・・・、y)∈X に対し、次のように定義する。



このとき、d を 『 d、・・・、d の直積距離関数 』 という。

(X、d)を 『(X、d)、・・・、(X、d)の直積距離空間 』 という。

いま定義した d が距離関数となることは次の定理で示す。

論理的には上記の d が距離関数であることを示してから直積距離関数と名付けるべきである。

しかし、あえて順番を逆にした。

B24

定義(直積距離空間)で定義した d は距離関数である。

証明

明らかに、d は距離の公理(1)、(2)を満たす。

一方、シュワルツの不等式より、



よって、d は距離の公理(3)を満たす。

B25

(X、d)、・・・、(X、d)を距離空間とする。

(X、d)を X、・・・、X の直積距離空間とする。

、・・・、O を X の開集合とする。

、・・・、F を X の閉集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) O×・・・×O は X の開集合である。

(2) F×・・・×F は X の閉集合である。

(1)の証明

x=(x、・・・、x)∈O×・・・×O とおく。

このとき、任意の k∈{1、・・・、n}に対し、あるε が存在して、S(x、ε)⊂O となる。(※B7)

ここで、ε=min{ε、・・・、ε}とおく。

このとき、S(x、ε)⊂O×・・・×O である。

よって、O×・・・×O は開集合である。(※B7)

(2)の証明

x=(x、・・・、x)∈(F×・・・×F とおく。

このとき、ある k∈{1、・・・、n}が存在して、x∈F となる。

いま、F は X の開集合である。(※B9)

よって、あるε>0 が存在して、S(x;ε)⊂F となる。(※B7)

S(x、ε)を x=(x、・・・、x)のε近傍とする。

このとき、次が成り立つ。(※定義:直積距離空間)



また、



よって、S(x、ε)⊂(F×・・・×F である。

以上により、



よって、(F×・・・×F は(X、d)の開集合である。(※B7)

よって、F×・・・×F は(X、d)の閉集合である。

定義

の部分集合として次のような集合を考える。



(1)のような形の集合を 『 の開区間 』 という。

(2)のような形の集合を 『 の閉区間 』 という。

補足

の開区間は の開集合である。(※B25)

の閉区間は の閉集合である。(※B25)

B26 ( 点列の収束と各成分の収束は同値 )

(X、d)、・・・、(X、d)を距離空間とする。

(X、d)を、(X、d)、・・・、(X、d)の直積距離空間とする。

(xn∈ を(X、d)の点列とする。

x∈X とする。

このとき、次は同値である。

補足

次のように表してよい。

証明

(1)を仮定する。

いま、任意の i ∈{1、・・・、m}に対して、



いま、x→x (n→∞) であるから、B18より、



よって、



再び、B18より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、任意の i ∈{1、・・・、m}に対して、



ここで、N=max{ N、・・・、N }とおく。

このとき、n>N ならば、



以上により、



よって、x→x (n→∞) である。