集合の基本2(部分集合など)

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定義 ( ⇒ )

2つの条件 P、Q を考える。

P が真であるとき、Q も真であるとする。

このとき、P⇒Q と表す。

P⇒Q は 「 P ならば Q 」 と読む。

定義 ( ⇔ )

2つの条件 P、Q を考える。

P⇒Q かつ Q⇒P であるとする。

このとき、P⇔Q と表す。

P⇔Q は 「 P と Q は同値である 」 と読む。

定義 ( 部分集合 )

任意の x に対して 「 x∈A⇒x∈B 」 が成り立つとする。

このとき、A⊂B と表す。

また、A を 『 B の部分集合 』 という。

参考

A、B を集合とする。

このとき、『 A=B 』 と 『 A⊂B かつ B⊂A 』 は同じ意味である。(※定義:集合の相等)

つまり、A=B を証明したい場合には、A⊂B と B⊂A を証明すればよいのである。

定義 ( 真部分集合 )

A、B を集合とする。

A⊂B かつ A≠B であるとする。

このとき、A を 『 B の真部分集合 』 という。

部分集合を ⊆ と表し、真部分集合を ⊂ と表す書物もある。

しかし、真部分集合が重要になることはほとんどない。

なので、部分集合を ⊂ と表すことが多い。

参考

c∈A と {c}⊂A は同じ意味である。

ただし、c∈A と {c}∈A の意味は異なる。

c∈A は 「 c が A に属する 」 という意味である。

例えば、A={a、b、c} ならば、c∈A である。

一方、{c}∈A は 「 {c} が A に属する 」 という意味である。

例えば、A={{a}、{b}、{c}} ならば、{c}∈A である。

A={{a}、{b}、{c}} という表記に違和感を感じるかもしれない。

しかし、何も特別なことではない。

これは、A が {a}、{b}、{c} によって構成されていることを意味している。

つまり、集合の中に集合が元として属しているのである。

以上から分かるように、c と {c} は区別される。

ただし、ここまでイジワルな話はあまり登場しない。

定義 ( ∧ )

2つの条件 P、Q を考える。

P と Q が2つとも真であるとき、P∧Q と表す。

P∧Q は 「 P かつ Q 」 と読む。

定義 ( ∨ )

2つの条件 P、Q を考える。

P と Q のうち、少なくとも一方が真であるとき、P∨Q と表す。

P∨Q は 「 P または Q 」 と読む。

定義 ( 和集合、共通部分〜その1 )

A、B を集合とする。

次のように記号を定義する。



A∪B を 『 A と B の和集合 』 という。

A∩B を 『 A と B の共通部分 』 という。

例えば、A={1、2、3}、B={3、4}とする。

このとき、A∪B={1、2、3、4}である。

また、A∩B={3}である。

参考

次はいずれも同じ意味である。

(1) A と B は共通部分をもたない。

(2) A と B は交わらない。

(3) A と B は互いに素である。

定義 ( ¬ )

P を条件とする。

P の否定となる条件を ¬P と表す。

つまり、P が真であるとき、¬P は偽である。

また、P が偽であるとき、¬P は真である。

定義 ( 補集合 )

A を集合とする。

次のように定義する。



を 『 A の補集合 』 という。

次のように表しても意味は同じである。

定義 ( 差集合 )

A に属して B に属さない元全体を 『 A と B の差集合 』 といい、A−B と表す。

補集合と差集合の意味を混同しないように注意。

定義 ( 普遍集合 )

議論の対象となる要素全体を 『 普遍集合 』 という。

普遍集合は明示されないことが多いが、各議論において普遍集合は必ず定まっているものとする。

例えば、A を x+x+1=0 の解全体とする。

つまり、A={ x|x+x+1=0 }である。

このとき、普遍集合が のどちらであるかによって A の元は異なる。

普遍集合が である場合、A は空集合である。

つまり、A={ x∈|x+x+1=0 }と見れば、A は空集合である。

普遍集合が である場合、A は2つの元をもつ。

つまり、A={ x∈|x+x+1=0 }と見れば、A は2つの元をもつ。

参考

X を普遍集合とする。

A を集合とする。

このとき、A=X−A である。

参考 ( ラッセルのパラドクス )

以上で部分集合について解説をした。

部分集合についての知識があればラッセルのパラドクスを理解できる。

そこで、ラッセルのパラドクスについて紹介しよう。

ラッセルのパラドクスでは次のような集合を考える。



つまり、X は 『 自分自身を要素として含まない集合全体 』 である。

さて、集合 X は X に属するであろうか?それとも、属さないのであろうか?

X が X に属すると仮定しよう。(背理法)

いま、X の定義により、X は X に属さないはずである。

これは矛盾である。

X が X に属さないと仮定しよう。(背理法)

いま、X は、X の定義の条件を満たしている。

よって、X は X に属する。

これは矛盾である。

結局、どちらにしても矛盾してしまう。

これがラッセルのパラドクスである。

このパラドクスが生じる原因は、素朴集合論が無制限に集合を認めていることにある。

数学をある程度だけ学べば分かると思うが、ラッセルの集合はあまりにも理不尽である。

こうした理不尽な集合まで認めてしまったからパラドクスが生じるというわけである。

そこで、適切なルールを作って集合を構成しようとするのが公理的集合論である。

ところが、これが非常に難解である。

また、理不尽な集合を考えなければパラドクスを心配する必要はない。

なので、『 通常の数学 』 と 『 公理的集合論 』 は分かれているのである。