有限直積空間(+直積位相を直観的に理解する)

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定義 ( 自然な位相 )

(X、d)を距離空間とする。

(X、d)の開集合全体は位相空間の公理を満たす。(※B8)

そこで、距離空間の開集合全体を位相として採用すれば、X は位相空間になる。

このように、距離空間(X、d)に対して自然に定まる位相を 『 自然な位相 』 という。

既に第2章で述べたように、 に対して自然な距離が入る。

むろん、この距離に対して自然な位相が入る。

つまり、 には自然に位相が入る。

参考 ( 第1章と第2章の比較 )

距離空間に自然な位相を導入しよう。

このとき、位相空間論の定理はすべて距離空間論にも適用できる。

例えば、

(1) A5 は B14 の一般化である。(※B8)

(2) A10 は B15 の一般化である。(※B8)

(3) A20 は B22 の一般化である。(※B8)

つまり、第1章を既知とすれば、B14、B15、B22 の証明は省略(または一部省略)できる。

定義 ( 有限直積空間 )

={ λ|λ∈J } を X の位相とする。

={ μ|μ∈K } を Y の位相とする。

次のように定義する。



明らかに、 は X×Y の位相である。

そこで、 を 『 の直積位相 』 という。

また、(X×Y、) を 『 (X、) と (Y、) の直積空間 』 という。

参考

(X、)、(Y、) を位相空間とする。

このとき、× は一般には X×Y の位相にならない。

補足

とくに、これを直積位相と混同しないように注意。

証明

X=Y= の場合を考える。

の自然な位相とする。

いま、(0、2)×(0、2)∈× であり、(1、3)×(1、3)∈× である。

しかし、(0、2)×(0、2)∪(1、3)×(1、3) は × に属さない。

よって、×× の位相ではない。

P1 ( 直積距離空間と直積位相空間は同値である )

(X×Y、d)=(X、d)×(Y、d) を直積距離空間とする。

を、(X×Y、d) の自然な位相とする。

を X の自然な位相とし、 を Y の自然な位相とする。

の直積位相とする。

このとき、 である。

証明

O∈ とおく。

いま、O=∪p∈OS(p、ε) と表せる。

また、S(p、ε)=∪{S(x、δ)×S(y、η)|(x、y)∈S(p、ε)、√(δ+η)<ε } である。

よって、O∈ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

O∈ とおく。

いま、O=∪(λ、μ)∈Mλ×Wμ ( Vλ、Wμ ) と表せる。

また、Vλ=∪x∈VλS(x、δ) と表せる。

また、Wμ=∪y∈WμS(y、η) と表せる。

また、S(x、δ)×S(y、η)=∪{ S(p、ε)|p∈S(x、δ)×S(y、η)、ε<√(δ+η) } である。

よって、O∈ である。

参考 ( 直積位相を直観的に理解する )

X×Y を直積空間とする。

S(p、ε) を p∈X×Y の開球とする。

ε=1 としてみよう。

いま、S(p、ε) の境界点 (x、y) としてどのようなものが考えられるだろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば、次のようなものがある。( ただし、p=(p、p) としている )



実際、(x、y) の p=(p、p) からの距離は √(1/2+1/2)=1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

他に、



実際、(x、y) の p=(p、p) からの距離は √(0+1)=1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、次は境界点ではない。



実際、(x、y)の p=(p、p) からの距離は √(1+1)=√2>1 である。

おそらく、これが境界点と誤解されることは多いであろう。