全有界

サイトのTOP→理系インデックス
位相空間論のTOP→位相空間論インデックス





定義 ( 被覆 )

X を集合とする。

A を X の部分集合とする。

(Bλλ∈J を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。



このとき、(Bλλ∈J を 『 A の被覆 』 という。

定義 ( 全有界〜その1 )

(X、d)を距離空間とする。

任意のε>0 に対して、有限個のε開球が存在して、X を被覆できるとする。

このとき、「 X は全有界である 」 という。

定義 ( 全有界〜その2 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は X の部分距離空間として全有界であるとする。

このとき、「 A は全有界である 」 という。

B46

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、A が全有界ならば、A は有界である。

つまり、diam(A)<∞ である。

証明

いま、A は全有界である。

よって、あるε開球の集合{U、・・・、U}が存在して、A を被覆できる。(★)

つまり、



いま、diam( U )≦2εである。(※B28)

つまり、任意の U は有界である。

よって、A も有界である。(※B30)

(★)について補足

ところで、これは 『 A のε開球 』 であろうか?

それとも、『 X のε開球 』 であろうか?

定義に沿って考えるならば、A のε開球である。

しかし、定義(部分距離空間)でも注意したように、d は d の制限である。

よって、『 X のε開球 』 と見なしてもよいのである。

参考

B46の逆は成り立たない。

つまり、距離空間(X、d)が有界であっても、全有界であるとは限らない。

証明

( 成り立たないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい )

X を無限集合とする。

距離関数 d を次のように定義する。



このとき、diam(X)=1である。

つまり、距離空間(X、d)は有界である。

しかし、これは全有界ではない。

例えば、ε=1/2 とすると、有限個のε開球で X を被覆することはできない。

B47

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は全有界である。

(2)  は全有界である。

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある a、・・・、a∈A が存在して、A⊂S(a、ε/2)∪・・・∪S(a、ε/2)となる。

また、次が成り立つ。(※B15)



よって、 は全有界である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある a、・・・、a が存在して、⊂S(a、ε/2)∪・・・∪S(a、ε/2)となる。

n∈{1、・・・、m}とおく。

であるから、S(a、ε/2)∩A≠φである。(※定義:閉包)

そこで、b∈S(a、ε/2)∩A とおく。

このとき、S(a、ε/2)⊂S(b、ε)である。

よって、A⊂S(b、ε)∪・・・∪S(b、ε)である。

よって、A は全有界である。

参考

B47(2)⇒(1)の証明では b をとっている。

しかし、このようなことをする必要があるだろうか?

つまり、B47(2)⇒(1)の証明は、もっと簡単に次のように書いてもよいのでは?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある a、・・・、a が存在して、⊂S(a、ε)∪・・・∪S(a、ε)となる。

また、A⊂ である。

よって、A⊂S(a、ε)∪・・・∪S(a、ε)である。

よって、A は全有界である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

こちらの証明の方がシンプルであるように思える。

ところが、これは間違った証明である。

なぜなら、A の点を中心とする開球で A を被覆しなければ、A が全有界であるとはいえないからである。

このことは定義(全有界〜その1)、定義(全有界〜その2)に注意すれば分かる。

B47(2)⇒(1)の証明において、a、・・・、a は A の点とは限らない。

なので、新しく b∈A をとる必要があったのである。

B48

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は点列コンパクトであるとする。

このとき A は全有界である。

証明

いま、A は全有界でないと仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

x∈X とおく。

=S(x、ε/3)とおく。

このとき、diam(U)<εである。

∈X とおく。

いま、A は全有界でない。

よって、あるε>0 が存在して、任意の n≧2 に対して、次を満たす点 x をとることができる。



このとき、任意の N、N に対し、N≠N ⇒ d(xN1、xN2)≧ε/3 である。

よって、(xn∈ は収束部分列を含まない。

これは矛盾である。

よって、A は全有界である。