群論(対称性、化学の分子構造、ルービックキューブ、無限階段群、ワープ階段群)

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群論は「代数系」として紹介されることがある。

一方、群論は「対称性を記述するもの」として紹介されることもある。

ゆえに「群論は代数系なの?幾何学なの?」と戸惑う人がいるかもしれない。

結論を言うと、群論は代数系であり、これは対称性をもつ幾何に応用できる。

このページでは「代数系としての群論」と「幾何としての群論」を説明する。

群論とか、群って何?
群論は対称性の数学的な定式化。

群は基本的な代数系。

例えば、数の構造・分子構造・ルービックキューブは群で記述できる。
代数系って何?
代数系は演算が定められた集合のこと。

例えば、集合をSで表すと、a∈Sとb∈Sに対してa*b∈Sが定まっている。

この記号*が演算だね。
具体的に、群論ではどのような演算が定められているの?
群は演算として「結合則、単位元、逆元」を認める。
結合則?単位元?逆元?
結合則は a*(b*c)=(a*b)*c のこと。

つまり、演算結果が演算の順番に依存しないということ。

単位元は演算結果を変えないような元のこと。

つまり、単位元をeで表すと、任意の元a∈Gに対してa*e=aとなる。

逆元は演算結果が単位元となるような元のこと。

つまり、ある元a∈Gの逆元をa−1で表すとa*a−1=eとなる。
その記号a∈Gはどういう意味?
記号a∈Gは「元aが集合Gに属している」という意味。

勿論、集合Gは群のことだから、元aは群Gに属しているということ。
なるほど。けど、群の説明を聞いてもモヤモヤするなぁ。。。
モヤモヤしても大丈夫。だって、群は一般化された定義だから。

植物を見たことがない人に国語辞典で植物の定義を教えているような状態。

だから、具体的に群論でいくつか群を学ばないと分からない。

つまり、群の定義を聞いたときにモヤモヤするのは読者の責任じゃない。
そっか。安心した。じゃあ、具体的にどういう群があるの?
例えば、実数全体に対して演算として「積」を採用する。

すると、これは群になる。

この場合、単位元は1で、逆元は逆数。

実際、任意の実数aに対してa・1=aとなる。

また、任意の実数aに対してa・(1/a)=1となる。
演算として「和」を採用することはできないの?
できるよ。実数全体に対して演算として「和」を採用する。

この場合、単位元は0で、逆元は逆符号。

実際、任意の実数aに対してa+0=aとなる。

また、任意の実数aに対してa+(−a)=0となる。
採用する演算によって単位元や逆元が異なるんだね。

けど、ここまで登場した群って大きいものばかりだよね。

もう少し小さい群はないの?
例えば、G={−1、1}は積に関して群になる。
G={1、2、3}も積に関して群になる?
それは群にならない。

実際、2・3=6はGに属していない。
あれ?群の定義にそんなルールあったっけ?
群の定義というより、代数系の演算という定義に反してる。

最初に述べたけど、演算はa,b∈Gに対してa*b∈Gを満たすものとして定義される。
あ・・・見落としてた。
こういう間違いは『部分群』の証明などでありそう。

群であることだけを示して証明したつもりになってしまう。

本当は群として閉じていることを証明しないといけないのに。

因みに、勿論、部分群は群に含まれる小さな群のこと。
群論にはパズル的な議論もあるという話を聞いたことがあるんだけど。

そういう話って何かある?
例えば、群論のテーマとして次のようなものがある。

〇 正三角形の回転

〇 分子対称性

〇 ルービックキューブ
正三角形の回転?
正三角形の頂点に番号(1、2、3)をつけて区別する。

正三角形を左回りに120°回転させる操作をσで表す。

正三角形を左回りに240°回転させる操作をτで表す。

正三角形に恒等変換(何も変化させない)をIで表す。

正三角形にσやτを施すと、図形を重ね合わせることができる。

このような重ね合わせの操作全体を群とみなすことができる。

つまり、G={I、σ、τ}は群とみなせる。

実際、このGは群の定義をみたしている。

例えば、このGは演算に関して閉じている。

実際、σ=I、σ*σ=τ、σ*τ=I、−σ*σ=Iなどが成り立つ。

勿論、−σは右回りの回転に相当する。
おもしろいね。今回は「操作」そのものが群になっているんだね。
そう。今回は「操作」を群の要素として見なしている。

一方、実数を群として見なすことは「物」を群の要素として見なしている。
正三角形と同じことを正方形で議論できるよね。
そう。

正方形の場合は左回りの90°回転をσとすればよい。

この場合はσ=Iなどが成り立つ。

また、回転操作だけではなくて反転操作を群に入れることもできる。

実際、正方形や正三角形を反転させても操作前後で区別はつかない。

正三角形の反転軸は3本ある。

正方形の反転軸は8本ある。(4本じゃないことに注意)
つまり、図形によって対称性が異なるんだね。
そう。だから、群論は分子対称性の説明にも応用される。

つまり、対称性によって分子構造を分類できる。
じゃあ、化学科で群論を学ぶ必要がある?
基本的に、この対談で述べられている内容で十分。

重ね合わせる操作を考えて、対称性を区別すればいい。
つまり「数学科で学ぶ群論」と「化学科で群論」は別物?
数学的な群論を学ぶのなら、最初の目標は『準同型定理』となる。

準同型定理までの内容には群論の基礎が集約されている。

だから、ある程度だけ深く学びたいというのであればそこを目指せばいい。

それが難しく感じるようであれば、引き返した方がいいかもしれない。
ルービックキューブに対する操作も群になる?
なる。ただし、可換群ではない。
可換群って何?
操作の順番を逆にしても演算結果が変わらない群のこと。

例えば、正三角形の回転は(もちろん)可換群。

一方、正三角形の回転に反転を加えると可換性は崩れる。

実際、「左回転*反転」と「反転*左回転」では結果が異なる。

ルービックキューブの場合も操作順序を逆にすると結果が異なる。

実際、「水平方向の回転」と「垂直方向の回転」の順番によって結果が異なる。
ルービックキューブって、水平方向の回転だけでも群として成り立つよね。
そう。つまり、それは部分群。
そういえば、階段での移動を群にすることができそうだね。

1階→2階とか。1階→3階とか。2階→3階とか。

それぞれ階を直接に指定した移動全体を群とみなす。

すると、(1→2)*(2→3)=1→3のように演算を定義できる。

これも群になるよね?
それは群にならないよ。
え・・・何で???
例えば、演算(1→3)*(1→2)を定義できない。体が分裂する。
じゃあ、u(昇降)とd(下降)を元とすれば・・・!
けど、最上階まで行ったら移動できないから群にならない。
じゃあ、無限の上階と下階をもつということにすれば・・・!
それは群になる。名づけて「無限階段群」。
Woo-hoo!!! (ノ゚∇゚)ノ
この場合、無限群だね。
無限群?この群の元はIとuとdだけじゃないの?
他に、u、u、・・・、d、d、・・・がある。

これらはすべて別の元だし、演算結果は群に含まれるからね。

勿論、ある意味でuとdは本質的であるともいえる。

実際、すべての元はuとdで再現できるからね。

その意味で、このuとdは線形空間(ベクトル空間)の基底に似ている。
無限階段群をもう少しおもしろくすることはできるかな?

無限に階段が続いているだけだと恐い。
それなら、1階と10階をワープ装置でつないでみる。

すると、これは有限群となり、u10=Iが成り立つ。

名づけて「ワープ階段群」。

ワープ階段群の場合、無限階段群の元dは不要。

実際、u9=dと書けるからね。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。

捕捉

「無限階段群」と「ワープ階段群」は理系インデックスのオリジナルです。

ルービックキューブに対する群論的説明も理系インデックスのオリジナルです。