行列論のトリニティフォーム

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「行列の積は奇妙な計算だ」と思う人がいるかもしれない。

しかし、実は「行列の積」「1次分数変換」「複素数」は自然に対応させることができる。

これを「行列論のトリニティフォーム(三位一体)」と呼ぶことにしよう。

また、行列の役割は「線形変換」によって理解される。

線形変換は「点の移動」を意味する。

行列の積って計算しにくいよね。
次のように補助線を引けば計算しやすくなる。



このようにすれば行列の積は分かりやすい。

何で行列の積ってこういう計算手順なんだろう?
行列によって「ベクトルの変換」や「点の移動」を行うことができる。

このようなことはカメラの画像処理などにも応用されている。
行列でベクトルを変換するってどういうこと?
ベクトルを行列と見なして、ベクトルに行列を作用させて積を計算する。

例えば、ベクトルvに行列Aを作用させて、新しくベクトルw=Avを得る。

正方行列によるベクトルの変換を『線形変換』という。
具体的に、線形変換によってどのようにベクトルが移動するの?
それについては他のページで議論する。

直交行列とか、対称行列とか、各行列によってベクトルの変換に特徴がある。
行列の積はベクトルの変換だけなの?
行列の積を解析的な議論に関連づけることもできる。

例えば、行列の積は中学数学で理解できる『1次分数変換』に置き換えることができる。

1次分数変換は次のように書ける。



この係数の部分が行列に対応する。

つまり、この1次分数変換に対応する行列は、



ここで、次のような1次分数変換φとφを考える。



このとき、合成関数φ*φは、



一方、同じことを対応する行列の積で書くと、



このように「行列の積」と「1次分数変換の合成」は成分が対応している。
「行列の積」と「1次分数変換の合成」って同じなんだね。
さらに、複素数の行列表示を考えることもできる。

実際、次のように対応させることができる。

これで・・・対応しているの?
例えば「複素数の積」と「行列の積」は対応している。

z=a+biとw=c+diで計算すると、

計算結果も複素数の行列表示になっているんだね。

そういえば、複素数の積は可換だよね。

つまり、zw=wzが成り立つ。

行列でも可換性は成り立つの?
行列全体は積に関して非可換。

つまり、行列全体では可換性が成り立つとは限らない。

つまり、行列AとBに関してAB=BAが成り立つとは限らない。

けど、複素数の行列表示に限定すると、可換性が成り立つ。
複素数の逆数も行列で表せる?
複素数 a+bi の逆数は次のように表せる。



これは「逆行列」と呼ばれる。
本当に「行列」「1次分数変換」「複素数」は対応しているんだね。

むしろ、違いが分からなくなるレベル…。
名づけて「行列論のトリニティフォーム」。



参考文献

とくになし。上述の内容は即興です。