行列は1次分数変換で理解できる

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「行列は何に応用されるのか?どこに登場するのか?」と問う人がいるかもしれない。

これに対する回答は様々である。

例えば、行列はコンピュータの画像処理や計算などに応用される。

このページでは1次分数変換に行列が現れることを説明しよう。

行列の積って計算しにくいよね。
次のように補助線を引けば計算しやすくなる。



このようにすれば行列の積は分かりやすい。

なるほど。けど、何で行列の積ってこういう計算手順なんだろう?
理由は色々あるけれど、1つの理由は1次分数変換に注目すると分かる。

1次分数変換は次のように書ける。



この係数の部分が行列に対応する。

つまり、この1次分数変換に対応する行列は、



ここで、次のような1次分数変換φとφを考える。



このとき、合成関数φ*φは、



一方、同じことを対応する行列の積で書くと、



このように「行列の積」と「1次分数変換の合成」は成分が対応している。
対応している・・・!

「行列の積」と「1次分数変換の合成」って同じなんだね。
今回の内容は行列のテーマとしておもしろいと思う。

けど、形式的とはいえ、複素関数が絡んでいる。

だから、線形代数の教科書には載せにくいんだよね。

そこで、今回のテーマとして採用してみた。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。