行列式は面積です

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行列式は線形代数学において基本的な概念である。

代数的な意味として、行列式は行列を方程式を結びつける。

幾何的な意味として、行列式は三角形の面積を表す。

行列式って何?
次のような行列を考える。



次のように定める。



この det(A)を『Aの行列式』という。det(A)を|A|で表すことも多い。
それで、行列式にどのような意味が・・・?
解釈は色々あるけど、ここでは「幾何的な意味」を紹介する。

実は、行列式は三角形の面積を意味する。
そうなの!?
三角形OPQについて考え、点Oは原点であるとする。

点 P の座標は(a、b)であり、点 Q の座標は(c、d)であるとする。

この三角形の面積Sは次のように書ける。





つまり、行列式は三角形の面積。

勿論、この定理によって平行四辺形の面積も分かる。

つまり、OPとOQを辺としてもつ平行四辺形の面積は|ad−bc|だね。

証明は簡単で、次のように計算できる。



ただし、点の位置関係によってad−bc<0となる場合がある。

だから、面積の式ではad−bcに絶対値をつけた。
行列式には戸惑っていたけど・・・実は三角形の面積と同じだったんだね。

安心した。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。