環論と体論

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環論や体論は群論に続いて基本的な代数系である。

体論にはガロア理論への入口がある。

環論と体論って何?
環は「分配則を公理として認める代数系」を意味する。

体は「四則演算を公理として認める代数系」のこと。

群→環→体で公理(ルール)が追加されていく。

とくに、体はよく知られている数に近い。

実際、実数全体は体だからね。
環は分配則を認める代数系・・・。

分配則って a・(b+c)=a・b+a・c のこと?
そう。
えーと・・・あれ?そもそも、群って何だっけ?
群は1つの演算を公理として認める代数系。

例えば、実数全体は積に関して群となる。

例えば、実数全体は和に関して群となる。

そこで、加法群に積を導入し、和と積を分配則で関連づける。

これが『環』であり、これを議論する分野を『環論』という。
環と体は何が違うの?
環は積が定義されているだけで、逆数については何も述べていない。

だから、環に逆数を認めたものが体。
環って・・・何か中途半端?
まぁ、たしかに、ある意味で中途半端かも。

ただし、非可換環論などの世界もあって奥が深いらしい。
それで、環論や体論で何が分かるの?
例えば、数論に応用される。

体論として『ガロア理論』がある。

ガロア理論は5次方程式の解に関する研究で有名。
具体的に、体論やガロア理論で何を議論するの?
ガロア理論は難しいから、体論の基本だけ説明する。

例えば、有理数全体 は明らかに体。

実は、(√a)={ x+y√a : x と y は有理数 }も体となる。

ただし a は有理数で、√a は無理数であるとする。
(√a)が体になる。

つまり、四則演算が成り立つということ?

それって、当然だよね?
いや、四則演算の結果が再び (√a)に属する必要がある。

そのことを証明する必要がある。

まず、和について



また、積について



また、商について



このように、α、β∈(√a)に対してα±β、αβ、α/β∈(√a) となる。

つまり、(√a)は体。
なるほど。つまり、(√a)は より大きい体だね。
そう。つまり、(√a)はの『拡大体』であるということ。
これをさらに拡大させることもできるのかな?
できる。

(√a)に対して (√a)を考えればよい。

ただし a に属していて √a に属さないとする。
つまり は有理数に「四則演算」と「+√a」を認めたもの?
そうだね。
けど、拡大体の列 で何が分かるの?
=2 が有理数解をもたないことを証明できる。
=2 に有理数解が存在しないことは何となく予想できるけど・・・。
それを完全に論理的に示せることが重要。
どうやって証明するの?
=2 の解の1つαが に属すると仮定する。(背理法)

すると、別の解が n−1 に属することが示される。(この部分の詳細は省略)

また、この議論は同様に繰り返すことができる。

つまり、この解を改めてαとすると、別の解が n−2 に属することが示される。

これを繰り返すと X=2 は に解をもつことになる。

ところが、このことは矛盾になる。

この部分だけはしっかり証明しよう。

いま X=2 が有理数解をもつとする。(背理法)

このような有理数解を既約分数 a/b で表す。

つまり (a/b)−2=0 が成り立つ。

つまり a=2b となる。

は偶数だから a も偶数。

そこで a=2p としてよい。

すると 8p=2b となる。

つまり 4p=b

つまり b も偶数となる。

つまり a と b は偶数。

けど、これは a/b が既約であることに反する。

つまり、最初の仮定 「 X=2 が有理数解をもつ 」 が間違いということ。
最後の証明って √2 が無理数であることの証明に似ているね。

なるほど、こういう場面につながってくるのか。。。
ここで紹介しているのは体論そのものではないけどね。

体論やガロア理論はこの内容よりはるかに難しい。
体論やガロア理論で何が分かるんだっけ?
5次方程式に代数的解が存在しないことを証明できる。

このことを「5次方程式に解の公式は存在しない」と表現することもある。

あるいは「5次方程式は解けない」と表現されることもある。

ただ、このことは「5次方程式の解は存在しない」と誤解される可能性もある。

実際には5次方程式は5個の解をもつ。(※代数学の基本定理)

あくまで代数的な解が存在しないという話。
代数的な解って?
四則演算の有限回で書き表せるということ。

一方、代数的でないものを『 超越的 』という。



参考文献

瀬山士郎:コンパスと定規の幾何学、共立出版。

次のことについて参考にしました。

(1)拡大体(p124〜p127)

(2)X=2の有理数解が存在しないこと(p128〜p130)